ランキン・コーエンブラケット

Rankin (1956, 1957) は、モジュラー形式の微分の多項式が再びモジュラー形式となるための一般条件を示した。

その後、 Cohen (1975) がRankin–Cohenブラケットを与えるような多項式の具体的な例を提示した。

その後、Zagier (1994) がこれらを「Rankin–Cohenブラケット」と命名した。さらにZagierは、このブラケットを代数的に抽象化した構造として Rankin–Cohen代数 を導入した。

f と g がそれぞれウェイト k と h のモジュラー形式であれば、それらの n 次 Rankin–Cohen ブラケット [f,g]_n は次で与えられる。

${\displaystyle [f,g]_{n}=\sum _{r+s=n}(-1)^{r}{\binom {k+n-1}{r}}{\binom {h+n-1}{s}}{\frac {d^{r}f}{d\tau ^{r}}}{\frac {d^{s}g}{d\tau ^{s}}}\ .}$

これはウェイト k + h + 2n のモジュラー形式である。

Rankin–Cohen ブラケットの数式は表現論の言葉で説明することができる。モジュラー形式は SL₂(R)/SL₂(Z) 上の関数の空間における SL₂(R) の離散級数表現（英語版）に対する最小のウェイトベクトルと見なすことができる。

モジュラー形式 f および g に対応する2つの最低ウェイト表現のテンソル積は、非負整数 _n でパラメタライズされた最低ウェイト表現の直和へと分解される。

簡単な計算により、各成分に対応する最低ウェイトベクトルが Rankin–Cohen ブラケット [f,g]_n に一致することが示される。

• Cohen, Henri (1975), “Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters”, Math. Ann. 217 (3): 271–285, doi:10.1007/BF01436180, MR 0382192, Zbl 0311.10030
• Rankin, R. A. (1956), “The construction of automorphic forms from the derivatives of a given form”, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 20: 103–116, MR 0082563, Zbl 0072.08601
• Rankin, R. A. (1957), “The construction of automorphic forms from the derivatives of given forms”, Michigan Math. J. 4: 181–186, doi:10.1307/mmj/1028989013, MR 0092870
• Zagier, Don (1994), “Modular forms and differential operators”, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., K. G. Ramanathan memorial issue 104 (1): 57–75, doi:10.1007/BF02830874, MR 1280058, Zbl 0806.11022