関数空間

汎関数の萌芽

ヴィト・ヴォルテラは曲線や関数に対応して値を定める「函数の函数」（後に汎関数と呼ばれる概念）を研究し、関数を無限次元空間の「点」とみなす発想の先駆けを示した^[1]。 エリック・イヴァル・フレドホルムは線型積分方程式の一般理論を構築し、有限次元の線型方程式論との明示的な類比のもとで無限次元の問題を扱った^[2]。

抽象化と公理化

モーリス・フレシェは1906年の学位論文において距離空間の概念を公理的に定式化し、連続関数の全体などの関数空間を抽象的な距離空間として統一的に捉える枠組みを提供した^[3]。 ダフィット・ヒルベルトは1904年から1910年にかけて、二乗可積分な数列の全体（現在の ${\displaystyle \ell ^{2}}$ 空間に相当）を考察し、スペクトル理論の枠組みを整備した^[4]。フリジェシュ・リースは1907年に ${\displaystyle L^{2}}$ 空間上の連続線型汎関数の表現定理を示し（リースの表現定理の原型）、1910年には ${\displaystyle L^{p}}$ 空間を明示的に導入してその双対構造を解明した^[5]。

関数解析学の確立

ステファン・バナッハは1922年に公刊した学位論文において完備ノルム空間（バナッハ空間）の概念を公理化した^[6]。さらに著書 Théorie des opérations linéaires において、ハーン＝バナッハの定理・開写像定理・一様有界性原理・閉グラフ定理といった関数解析学の根幹をなす定理群を体系的に整理した^[7]。ジョン・フォン・ノイマンはヒルベルト空間の現代的な公理的定義を与え^[8]、量子力学の数学的基礎としてスペクトル定理を確立した。

超関数理論の整備

ローラン・シュワルツは超関数の理論（Théorie des distributions）を整備し、テスト関数空間 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ とその双対空間からなる関数空間の階層的構造を導入した^[9]。この業績によりシュワルツは1950年にフィールズ賞を受賞している。以後、偏微分方程式の弱解論・ソボレフ空間の発展と相まって、関数空間論は現代数学の中核的な道具立てとして確立された。

集合論・代数学

• 集合論において、集合 X から Y への写像の全体は Y^X と表記される。特殊な場合として、X の冪集合は、X から {0, 1} への関数の集合と同一視され、2^X と表記される。
• 有限群の表現論（英語版）において、群 G の2つの有限次元表現 V と W が与えられたとき、それらの間の線型写像の全体 Hom(V,W) もまた、Hom表現（英語版）と呼ばれる G の表現を成す^[10]。
• 圏論において、関数空間は指数対象（または写像対象）として一般化される。

幾何学

• 位相幾何学において、位相空間 X から Y への連続関数の空間には、しばしばコンパクト開位相が導入される。重要な例として、基点 ${\displaystyle x_{0}\in X}$ を固定し、${\displaystyle S^{1}}$ の基点を ${\displaystyle x_{0}}$ に写す連続写像全体からなる（基点付き）ループ空間（英語版） ${\displaystyle \Omega X}$ があり、ホモトピー論などで中心的な役割を果たす。
• 微分幾何学において、多様体上の微分形式の空間や、ベクトル場の空間（接束の切断の空間）などは、代数的な構造を持つ関数空間として扱われる。

確率論・計算機科学

• 確率過程の理論において、ブラウン運動などの確率過程は、時間の関数からなる空間（例えば連続関数の空間 ${\displaystyle C([0,\infty ))}$ やスコロホッド空間）上の確率測度として定式化される。
• 関数型プログラミングおよびラムダ計算において、関数型は高階関数の概念を表現するために用いられる。

解析学

関数解析学においては、微分方程式の解を構成したり、積分の性質を調べたりするために、位相やノルムを備えた関数空間が不可欠となる。ノルム位相のほかに、弱位相（汎関数の各点収束による位相）および汎弱位相も重要であり、特に無限次元空間においてはバナッハ＝アラオグルの定理により単位球の弱*コンパクト性が保証される。詳細については後述の#関数解析学の節に記述する。

連続関数・滑らかな関数の空間

これらの空間は、関数の正則性（滑らかさ）や無限遠での挙動によって定義される。

• ${\displaystyle C(\Omega )}$：${\displaystyle \Omega }$ 上の連続関数の空間。通常は各点収束位相あるいはコンパクト開位相を考える。
• ${\displaystyle C_{b}(\Omega )}$：有界連続関数の空間。上限ノルム（一様ノルム）${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|}$ によりバナッハ空間となる。
• ${\displaystyle C_{0}(\Omega )}$：無限遠で消える（${\displaystyle \epsilon >0}$ に対して集合 ${\displaystyle \{x\in \Omega$ :|f(x)|\geq \epsilon \}} がコンパクトとなる）連続関数の空間。${\displaystyle C_{b}(\Omega )}$ の閉部分空間である^[11]。
• ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$：${\displaystyle k}$ 階連続微分可能な関数の空間。${\displaystyle \Omega }$ がコンパクトでない場合、半ノルムの族によって定まるフレシェ空間の構造を持つが、バナッハ空間にはならない。
• ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$：無限回微分可能な（滑らかな）関数の空間。コンパクト部分集合上の各階導関数の上限による半ノルムを用いてフレシェ空間となる。
• ${\displaystyle C_{c}(\Omega ),C_{c}^{\infty }(\Omega )}$：コンパクトな台を持つ連続関数、および滑らかな関数の空間。後者は検定関数の空間 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ とも呼ばれ、超関数理論の基礎となる。

可積分関数の空間（ルベーグ空間）

測度論に基づく積分を用いて定義される空間であり、バナッハ空間の重要なクラスを形成する。

• ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$（${\displaystyle 1\leq p<\infty }$）：${\displaystyle |f|^{p}}$ がルベーグ積分可能であるような可測関数（の同値類）の空間。ノルムは ${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}}$ で定義される。特に ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ はヒルベルト空間となる。また、${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ のとき、${\displaystyle L^{p}}$ の双対空間は ${\displaystyle L^{q}}$（ただし ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$、すなわち ${\displaystyle 1<q\leq \infty }$）と自然に同一視される。特に ${\displaystyle p=1}$ の場合は ${\displaystyle (L^{1})^{*}\cong L^{\infty }}$ となる。なお、${\displaystyle 1<p<\infty }$ のとき ${\displaystyle L^{p}}$ は反射的であるが、${\displaystyle p=1}$ および ${\displaystyle p=\infty }$ のときは一般に反射的でない。
• ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega )}$：本質的に有界な可測関数の空間。ノルムは本質的上限 ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup _{x\in \Omega }|f(x)|}$ で与えられる。

数列空間

自然数全体の集合 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ を定義域とする関数空間は、実数または複素数の数列全体の集合と同一視され、数列空間と呼ばれる。${\displaystyle \mathbb {N} }$ 上の測度を数え上げ測度と見なすことで、数列空間も ${\displaystyle L^{p}}$ 空間の一種として統一的に扱えるが、測度が無限であるため有界領域上の関数空間とは異なる性質を持つ。

• ${\displaystyle \ell ^{p}}$（${\displaystyle 1\leq p<\infty }$）：${\displaystyle p}$ 乗総和可能な数列の空間。ノルムは ${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$ で定義される。${\displaystyle \ell ^{2}}$ はヒルベルト空間の最も基本的な例である。
• ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$：有界な数列の空間。ノルムは ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|}$。
• ${\displaystyle c_{0}}$：0 に収束する数列の空間。${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ の閉部分空間である。
• 包含関係：${\displaystyle \ell ^{p}}$ 空間の包含関係は、有界領域上の ${\displaystyle L^{p}}$ 空間とは逆に、${\displaystyle p<q}$ ならば ${\displaystyle \ell ^{p}\subset \ell ^{q}}$ となる（これは ${\displaystyle \mathbb {N} }$ の測度が無限大であることに起因する）。

微分可能性を持つ関数の空間

古典的な微分可能性を拡張し、微分方程式論などで中心的な役割を果たす。

• ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$：ソボレフ空間。階数 ${\displaystyle k}$ までの弱導関数が存在し、それらがすべて ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ に属する関数の空間。
• ${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$：${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$ に相当するヒルベルト空間。
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$：シュワルツ空間。急減少関数の空間であり、バナッハ空間にはならないがフレシェ空間の構造を持つ。その位相的双対空間 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ は緩増加超関数の空間と呼ばれる。

その他の空間

• ${\displaystyle {\text{Lip}}(\Omega )}$：リプシッツ連続な関数の空間。あるいはヘルダー連続関数の空間 ${\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega )}$。
• ${\displaystyle BMO(\Omega )}$：有界平均振動（英語版）関数の空間。
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}}$：ハーディ空間。
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Omega )}$：複素領域上の正則関数の空間。

有界線型作用素

関数解析学において、関数空間は単に対象として研究されるだけでなく、空間の間の写像（作用素）を通じてその構造が解明される。バナッハ空間 ${\displaystyle X}$ から ${\displaystyle Y}$ への有界線型作用素 ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ とは、線型性を満たし、かつある定数 ${\displaystyle C>0}$ が存在して ${\displaystyle \|Tx\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}}$（すべての ${\displaystyle x\in X}$ に対して）が成り立つ写像のことである。有界線型作用素の全体は作用素ノルム ${\displaystyle \|T\|=\sup _{\|x\|=1}\|Tx\|}$ によってバナッハ空間 ${\displaystyle B(X,Y)}$ を成す。

有界線型作用素の重要なクラスとして、以下のものが挙げられる。

コンパクト作用素

有界な集合を相対コンパクトな集合に写す作用素。無限次元空間では恒等写像はコンパクトでないため、コンパクト作用素は有限次元的な挙動の「近似」を与えると見なされる。

積分作用素

積分方程式論の起源でもあるフレドホルム型積分作用素 ${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }K(x,y)f(y)\,dy}$（${\displaystyle K}$ は積分核）は、適切な条件のもとで ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ 上のコンパクト作用素となる。

微分作用素

偏微分作用素 ${\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }D^{\alpha }}$ は一般に非有界であるが、適切な定義域を持つ閉作用素として関数解析学の枠組みで扱われる。ソボレフ空間 ${\displaystyle W^{k,p}}$ はこのような微分作用素の定義域となる空間として自然に現れる。

ユニタリ作用素

ヒルベルト空間の間の等長同型写像であり全射なもの。フーリエ変換は ${\displaystyle L^{2}}$ 上のユニタリ作用素の典型例である（プランシュレルの定理）。

基本定理

関数解析学には、個々の関数空間の性質とは独立に、バナッハ空間（あるいはヒルベルト空間）という構造一般に成り立つ重要な定理群がある。

ハーン＝バナッハの定理

ノルム空間上の部分空間で定義された有界線型汎関数は、ノルムを保ったまま全体の空間に拡張できる。双対空間が「十分豊富」であることを保証し、分離定理や弱位相論の基礎となる。

一様有界性原理

バナッハ空間 ${\displaystyle X}$ からノルム空間 ${\displaystyle Y}$ への有界線型作用素の族 ${\displaystyle \{T_{\lambda }\}}$ が各 ${\displaystyle x\in X}$ に対して ${\displaystyle \sup _{\lambda }\|T_{\lambda }x\|<\infty }$ を満たすならば、${\displaystyle \sup _{\lambda }\|T_{\lambda }\|<\infty }$ が成り立つ。フーリエ級数の収束論など、逐次的な近似操作の有界性を議論する際に使用される。

開写像定理

バナッハ空間の間の全射有界線型作用素は開写像である。系として、バナッハ空間の間の全単射有界線型作用素の逆写像は自動的に有界となる。

閉グラフ定理

バナッハ空間 ${\displaystyle X}$ から ${\displaystyle Y}$ への線型作用素 ${\displaystyle T}$ が、${\displaystyle X}$ の全域で定義され、かつそのグラフ ${\displaystyle \{(x,Tx):x\in X\}\subset X\times Y}$ が閉じているならば、${\displaystyle T}$ は有界（連続）である。この定理は逆説的に、微分作用素のような非有界な閉作用素は、バナッハ空間全体では定義され得ず、その定義域を（稠密な）部分空間に制限しなければならないことを示唆している。

補間空間

リース＝ソリンの定理

線型作用素 ${\displaystyle T}$ が ${\displaystyle L^{p_{0}}}$ から ${\displaystyle L^{q_{0}}}$ へ、かつ ${\displaystyle L^{p_{1}}}$ から ${\displaystyle L^{q_{1}}}$ へそれぞれ有界であるとき、${\displaystyle {\frac {1}{p_{\theta }}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}}$（${\displaystyle 0<\theta <1}$）を満たす中間の指数 ${\displaystyle p_{\theta },q_{\theta }}$ に対しても ${\displaystyle T}$ は ${\displaystyle L^{p_{\theta }}}$ から ${\displaystyle L^{q_{\theta }}}$ へ有界となり、その作用素ノルムについて不等式 ${\displaystyle \|T\|_{\theta }\leq \|T\|_{0}^{1-\theta }\|T\|_{1}^{\theta }}$ が成り立つ（対数凸性）。

マルチンケーヴィッチの定理

リース＝ソリンの定理を拡張したもの。

フーリエ変換と関数空間

フーリエ変換は、ある関数空間を別の（あるいは同一の）関数空間へ写す線型作用素として捉えられ、微分方程式の解析などで強力な道具となる。

• ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$：プランシュレルの定理により、フーリエ変換は ${\displaystyle L^{2}}$ 空間からそれ自身への等長同型写像（ユニタリ作用素）となる。
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$：シュワルツ空間もまた、フーリエ変換によって自分自身に移る（自己同型）。この性質を利用して、双対空間である緩増加超関数 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$ 上のフーリエ変換が定義される。
• ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$：リーマン・ルベーグの補題により、${\displaystyle L^{1}}$ 関数のフーリエ変換は、無限遠で消える有界連続関数（${\displaystyle C_{0}}$）になる。
• ソボレフ空間：${\displaystyle L^{2}}$ 空間上のフーリエ変換を用いると、微分操作が多項式の掛け算に変換されるため、ソボレフ空間 ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ （${\displaystyle s}$ は実数）を、${\displaystyle (1+|\xi |^{2})^{s/2}{\hat {f}}(\xi )\in L^{2}}$ を満たす関数の全体として自然に定義できる。