ラングランズ・シャヒーディの方法

設定は、局所体 F 上に定義された連結で準分岐的簡約群 G と、レヴィ部分群(Levi subgroup)を持っていることを考える。例えば、G = G_l はランク l の古典群（英語版）(classical group)で、最大レヴィ部分群は GL(m) × G_n の形をしているものを考える。ここに G_n はランクが n の古典群で、G_l, l = m + n と同じ形をしているとする。フェイドゥーン・シャヒーディ（英語版）(F. Shahidi)は、M(F) の既約表現の局所係数の理論を開発した。^[1] 表現から放物的に得られる表現の相互作用の理論とペアとなっているウィタッカーモデル（英語版）(Whittaker model)の一意性のおかげで、局所係数は定義される。

アイゼンシュタイン級数におけるロバート・ラングランズ(Robert Langlands)の理論の汎函数方程式に現れる大域相互作用素は^[2]、局所相互作用の積として分解することができる。M が最大レヴィ部分群のとき、局所係数は適切に選択されたアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数から出てきて、部分的なL-函数の積を意味する汎函数方程式を満たす。

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まず最初は、大域的カスプ表現の粗い函数等式 ${\displaystyle \pi =\otimes '\pi _{v}}$ を、部分的なL-函数とγ-因子の個別の函数等式へと精密化することである。^[3]

${\displaystyle L^{S}(s,\pi ,r_{i})=\prod _{v\in S}\gamma _{i}(s,\pi _{v},\psi _{v})L^{S}(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i}).}$

詳細はテクニカルであり、s を複素変数、S を S 以外の v では不分岐で値 ${\displaystyle \pi _{v}}$ となる（基礎となる大域体の）座(place)の有限集合とし、${\displaystyle r=\oplus r_{i}}$ を G のラングランズ双対群の行列式が 1 の部分群の複素リー代数で、M 上の随伴作用とする。G が特殊線型群 SL(2) であり、M = T が対角行列の最大トーラスのとき、π はヘッケ量指標(Größencharakter)で、対応する γ-因子は、テイト論文の局所因子である。

γ-因子は函数等式での役割と局所性質の中での役割により、双曲的な導出の観点(parabolic induction)からは多重度として一意に特徴付けられる。それらは、v をアルキメデス的局所体を与える、もしくは、非アルキメデス的で ${\displaystyle \pi _{v}}$ が M(F) の不分岐主系列表現の成分であるとき、アルティンのL-函数とアルティンの根との関係を意味する。従って、局所 L-函数と根 ε${\displaystyle (s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})}$ は、どこでも定義でき、p-進群のラングランズの分類より ${\displaystyle v\in S}$ を意味する。函数等式は、

${\displaystyle L(s,\pi ,r_{i})=\epsilon (s,\pi ,r_{i})L(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i})}$

の形をしている。ここに ${\displaystyle L(s,\pi ,r_{i})}$ と ${\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r_{i})}$ は完備化された大域的L-函数と根である。

• ${\displaystyle L(s,\pi _{1}\times \pi _{2})}$, GL(m) のカスプ的保型表現の ${\displaystyle \pi _{1}}$ や ${\displaystyle \pi _{2}}$ のランキン・セルバーグのL-函数。
• ${\displaystyle L(s,\tau \times \pi )}$, ここの τ は GL(m) のカスプ的保型表現であり、π は古典群 G の大域的なカスプ的保型表現の生成子である。
• ${\displaystyle L(s,\tau ,r)}$, ここの τ は前に定義したもので、r は対象二乗、拡張された二乗、もしくは GL(n) の双対群の浅井表現である。

ラングランズ・シャヒーディのL-函数(Langlands–Shahidi L-functions)の全リスト^[4] は、準分解群 G や最大レヴィ部分群 M には依存しない。特に、随伴作用 ${\displaystyle r=\oplus r_{i}}$ の分解はディンキン図形(Dynkin diagram)を使い分類される。アイゼンシュタイン級数の理論を使った最初の保型L-函数の研究は、ラングランズのオイラー積(Euler Products、論文のタイトル)^[5] で、保型表現がどこでも不分岐であるという前提を設けている。ラングランズ・シャヒーディの方法がもたらしたことは、ウィタッカーモデルの存在を要求すること以外には M の表現について他の条件なしで、L-函数と根を定義したことである。