リアプノフ方程式

離散時間

${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)}$ という結果を使うと、次の方程式

${\displaystyle (I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)}$

が得られる。ここで恒等行列 ${\displaystyle I_{n^{2}}}$ は整合行列（英語版）である^[3]。逆行列によってこの線形方程式を解けば ${\displaystyle \operatorname {vec} (X)}$ が求められる。行列 ${\displaystyle X}$ を得るには ${\displaystyle \operatorname {vec} (X)}$ を適切に配列し直せばよい。

さらに、${\displaystyle A}$ が安定的であれば、解 ${\displaystyle X}$ は次のように書ける。

${\displaystyle X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}}$

比較のために1次元の場合を考えてみると、これは単に ${\displaystyle (1-a^{2})\,x=q}$ の解が ${\displaystyle x={\tfrac {q}{1-a^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }q\,a^{2k}}$ であると言っているのと同じことである。

連続時間

再びクロネッカー積とvec作用素の記法を用いると、行列方程式

${\displaystyle (I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q}$

が得られる。ただし ${\displaystyle {\bar {A}}}$ は行列 ${\displaystyle A}$ の各要素を複素共役で置き換えた行列である。

離散時間の場合と同様に、${\displaystyle A}$ が安定的であれば、解 ${\displaystyle X}$ は

${\displaystyle X=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{A\,\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\,\tau }d\tau }$

と書ける。

比較のために1次元の場合を考えてみると、これは単に ${\displaystyle 2\,a\,x=-q}$ の解が ${\displaystyle x={\tfrac {-q}{2\,a}}=\int _{0}^{\infty }q\,\mathrm {e} ^{2\,a\,\tau }d\tau }$ であると言っているのと同じことである。