リエナールの定理 From Wikipedia, the free encyclopedia 力学系において、リエナールの定理 (Liénard's theorem) とはリミットサイクルの存在を示す定理。 次のような微分方程式を、リエナール方程式という。 d 2 x d t 2 + f ( x ) d x d t + g ( x ) = 0 {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0} リエナールの定理 リエナール方程式が次の5つの条件を満たすとき、 ( x , d x d t ) {\displaystyle \left(x,{dx \over dt}\right)} 平面状に唯一の安定なリミットサイクルを持つ。 f(x) と g(x) の微分が連続（C1級） g(x) が奇関数 f(x) が偶関数 x > 0 ならば、 g(x) > 0 次のような a が存在する。奇関数 F ( x ) = ∫ 0 x f ( u ) d u {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}\!f(u)\,du} が、 0 < x < a {\displaystyle 0<x<a} ならば、 F ( x ) < 0 {\displaystyle F(x)<0} F ( a ) = 0 {\displaystyle F(a)=0} x > a {\displaystyle x>a} ならば、正かつ非減少 リエナール系 リエナール方程式は、 F ( x ) := ∫ 0 x f ( ξ ) d ξ {\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi } x 1 := x {\displaystyle x_{1}:=x\,} x 2 := d x d t + F ( x ) {\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)} と置くことで、等価な2次元の常微分方程式系に変換できる。 [ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = h ( x 1 , x 2 ) := [ x 2 − F ( x 1 ) − g ( x 1 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}} これをリエナール系と呼ぶ. 関連項目 アルフレド＝マリー・リエナール（英語版） ファン・デル・ポール振動子 Related Articles
