リプシッツ領域

n ∈ N に対し、Ω を Rⁿ の開部分集合とする。Ω の境界は ∂Ω と表す。このとき Ω がリプシッツ境界を持つリプシッツ領域であるとは、すべての点 p ∈ ∂Ω に対して、ある半径 r > 0 と写像 h_p : B_r(p) → Q が存在して、次が成立することを言う。

• h_p は全単射である;
• h_p と h_p⁻¹ はいずれもリプシッツ連続である;
• h_p(∂Ω ∩ B_r(p)) = Q₀;
• h_p(Ω ∩ B_r(p)) = Q₊;

ここに

${\displaystyle B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|\|x-p\|<r\}}$

は p を中心とする半径 r の n-次元開球を表し、Q は単位球 B₁(0) を表す。また

${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}=0\};}$

${\displaystyle Q_{+}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}>0\}}$

である。

ソボレフの埋め込み定理の多くは、考えている領域がリプシッツ領域であることを必要とする。結果として、多くの偏微分方程式や変分問題はリプシッツ領域上で定義される。

• Dacorogna, B. (2004). Introduction to the Calculus of Variations. Imperial College Press, London. ISBN 1-86094-508-2