次元 (数学)

ベクトル空間の次元

ベクトル空間の次元はその空間の基底ベクトルの数（つまり、その空間の任意のベクトルを指定するのに必要な座標の数）である。この基底の濃度としての次元の概念は、他の次元の概念と峻別する目的で、線型次元などとも呼ばれる。

ヒルベルト空間の次元

任意のヒルベルト空間には正規直交基底が存在する。一つの空間において正規直交基底の濃度は一意に定まるため、この濃度をヒルベルト空間の次元と呼ぶ。ヒルベルト空間の次元が有限である場合、それはベクトル空間としての次元（線型次元、あるいはハメル次元）と一致する。しかし無限次元の場合、ヒルベルト空間の次元（正規直交基底の濃度）は線型次元（ハメル基底の濃度）よりも真に小さくなり、両者は区別される^{[注釈 1]}。

多様体の次元

連結な位相多様体とは、局所的に n-次元ユークリッド空間と同相であるような位相空間のことで、n はその多様体の次元と呼ばれる。これが任意の連結位相多様体に対する次元の一意な定義を導くことが示せる。

幾何学的位相幾何学の分野では、一次元や二次元といった低次元と、n > 4 となる高次元とで、用いられる手法や様相が大きく異なる。高次元の場合、考える対象に十分な自由度があることによって、手術理論（英語版）などの強力な手法が適用可能となり、分類理論などが整備されている。一方で、n = 3 および 4 の場合は、低次元特有の制約と高次元のような自由度の欠如により、ある意味で最も複雑な振る舞いを見せる。このような状況を示した実例として、一般化されたポワンカレ予想の各次元での解決の歴史がある（解決に至るまで、次元ごとに異なる四種のアプローチが必要とされた）。

被覆次元

任意の正規空間 X に対し、X のルベーグ被覆次元が n であるとは、n が次の条件を満足する最小の整数であることをいう。

任意の開被覆に対して、その開細分（元の被覆の開集合の部分集合からなる被覆）であって、空間の各点がその細分のメンバのうち高々 n + 1 個にしか含まれないようなものが存在する。

このとき、dim X = n と表す。X が多様体ならば、ここで定義した意味の次元と、既に述べた意味での次元は一致する。また、条件を満たすような整数 n が存在しないならば、X の次元は無限であるといい、dim X = ∞ と書く。さらに、X が −1-次元となることもある（dim X = −1 というのは X が空集合であるという意味である）。この被覆次元の定義は、定義における「開集合」のところを「機能的開集合」("functionally open") に単に取り替えることにより、正規空間から任意のチコノフ空間へ対象のクラスを拡張することができる。

帰納次元

位相空間の帰納次元は、小さい帰納次元と大きい帰納次元があるが、いずれも (n + 1)-次元球体が n-次元の境界を持つことのアナロジーに基づき、開集合の境界の次元を用いた帰納的定義が与えられる。

次元についての帰納的定義は概略して以下のように与えられる。まず点の離散集合（有限個の点の集まり）の次元は 0 であるものと考える。次に、ある空間の次元が n であるとは、その任意の点の任意の近傍に対して、その境界の次元が n − 1 となるような、より小さな近傍がとれることとして定義される。

ハウスドルフ次元

複雑な構造を持つ集合、特にフラクタルに対して、ハウスドルフ次元の概念は有効である。ハウスドルフ次元は、ハメル次元が定義できないようなものも含めた任意の距離空間に対して定義することができて、その値は必ずしも整数でない実数となる^[1]。同様の考え方に、ボックス次元やミンコフスキー次元（英語版）などがある。一般に、より特異な集合に対しても整数とは限らない正の実数値を割り当てることができるフラクタル次元の概念が他にも存在する。フラクタルは多くの自然にある物体や自然現象を記述するのに有効なものとして発見された^[2][3]。

代数多様体の次元

代数多様体の次元は様々な同値な方法で定義される。最も直感的な方法はおそらく任意の正則点における接空間の次元であろう。別の直感的な方法は、多様体との交叉が有限個の点（次元0）になってしまうために必要な超平面の個数として、次元を定義することである。この定義は、多様体の超平面との交叉は、超平面が多様体を含まない限り、多様体の次元から 1 下がるという事実に基づいている。

代数的集合は代数多様体の有限個の和集合であるから、その次元はその成分の次元の最大値である。それは与えられた代数的集合の部分多様体の鎖 ${\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq V_{d}}$ の最大の長さに等しい（そのような鎖の長さは、鎖に含まれる真の包含関係 ${\displaystyle \subsetneq }$ の個数である）。

各多様体は代数的スタック（英語版）と考えることができ、その多様体としての次元はスタックとしての次元と一致する。しかしながら多様体と対応しないスタックもたくさん存在し、これらの中には負の次元を持つものもある。具体的には、V が m 次元多様体で G が V に作用する n 次元の代数群 であれば、商スタック（英語版） [V/G] の次元は m − n である^[4]。

クルル次元

可換環のクルル次元はその素イデアルの鎖の最大の長さである。長さ n の鎖とは、包含によって並べられた素イデアルの列 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0}\subsetneq {\mathcal {P}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathcal {P}}_{n}}$ である。クルル次元は代数多様体の次元と強く関わっている。部分多様体と多様体上の多項式の環の素イデアルの間には自然な対応があるからである。

体上の多元環に対して、ベクトル空間としての次元が有限であるならば、その環のクルル次元は 0 である^{[注釈 2]}。