リュイリエの定理

面積S の三角形の3辺を a, b, c とする。

内接円の半径r の逆数は

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {a+b+c}{2S}}}$

3傍接円の半径 r_A, r_B, r_C の逆数は

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}={\frac {-a+b+c}{2S}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{B}}}}={\frac {a-b+c}{2S}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {a+b-c}{2S}}}$

故に逆数和は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}&={\frac {-a+b+c}{2S}}+{\frac {a-b+c}{2S}}+{\frac {a+b-c}{2S}}\\&={\frac {a+b+c}{2S}}={\frac {1}{r}}\end{aligned}}}$

となる。

リュイリエの定理は平面（2次元）の結果だが、${\displaystyle n}$次元空間に拡張できる。

${\displaystyle K}$を${\displaystyle n}$単体（2次元では三角形、3次元では四面体）とする。${\displaystyle K}$の内接球は、${\displaystyle K}$の内部から各面への距離が等しくなる点を中心とした、各面に接する球として定義できる。この半径を${\displaystyle r_{0}}$とする。同様に、${\displaystyle K}$の傍接球は、${\displaystyle K}$の内部から一つの面に対してだけ反対側に行った領域から、各面への距離が等しくなる点を中心とした、各面に接する球として定義できる。${\displaystyle K}$は${\displaystyle n+1}$個の面を持つので、これらの半径を${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n+1}}$とする。このとき、

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{r_{n+1}}}={\frac {n-1}{r_{0}}}}$

が成り立つ^[2]。証明は線形代数を用いる。

この結果は日本の経済学者の戸田アレクシ哲が大学生のときに証明し、2014年に専門誌に掲載された^[3]。

リュイリエは、彼の著書 (Lhuilier, 1809) において

${\displaystyle S={\sqrt {r\cdot r_{\text{A}}\cdot r_{\text{B}}\cdot r_{\text{C}}{\vphantom {A}}}}}$

であることも示唆している。

これより

${\displaystyle r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}={\frac {S^{2}}{r}}}$

であるから、リュイリエの定理：

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {1}{r}}}$

と辺々掛け合わせると

${\displaystyle r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}+r_{\text{C}}\,r_{\text{A}}+r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}=s^{2}}$

が得られる。ここで s は △ABC の半周長 (a + b + c)/2 である。この等式は、カール・フォイエルバッハが1822年に得たものである^[1][4]。