リンドハード理論

リンドハード公式を理解するために、2次元と3次元における極限状態を考える。1次元の場合も、別のやり方で考える。

まず長波長極限(${\displaystyle q\to 0}$)を考える。 リンドハード公式の分母について、

${\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}$,

また分子について、

${\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}}$.

これらをリンドハード公式に代入し、極限${\displaystyle \delta \to 0}$をとると、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\end{alignedat}}}$

ここで${\displaystyle E_{k}=\hbar \omega _{k}}$、${\displaystyle V_{q}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}}$、${\displaystyle \omega _{pl}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{\epsilon L^{3}m}}}$を用いた。

（SI単位では因子${\displaystyle 4\pi }$を${\displaystyle 1/\epsilon _{0}}$に置き換わる）

この結果は古典的な誘電関数と同様である。

次に静止極限(${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$)を考える。 リンドハード公式は次のようになる。

${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}}$.

分母と分子に上記の式を代入すると、

${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}$

熱平衡におけるフェルミ-ディラックキャリア分布を仮定すると、

${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}}$

ここで${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$、${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}}$を用いた。

よって、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {1}{L^{3}}}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{3}}}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa ^{2}}{q^{2}}}.\end{alignedat}}}$

ここで${\displaystyle \kappa }$は${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}}$で定義される3次元遮蔽波数（3次元遮蔽長の逆数）である。

ここで3次元での静的に遮蔽されたクーロンポテンシャルは次のように与えられる。

${\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}+\kappa ^{2}}{q^{2}}}}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2}}}}$

またこの結果のフーリエ変換は、

${\displaystyle V_{s}(r)=\sum _{q}{{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2})}}e^{i{\vec {q}}\cdot {\vec {r}}}}={\frac {e^{2}}{\epsilon r}}e^{-\kappa r}}$

これは湯川ポテンシャルとして知られる。 ここで、このフーリエ変換では基本的に「全ての」${\displaystyle {\vec {q}}}$についての和をとり、「各」${\displaystyle {\vec {q}}}$における小さな${\displaystyle |{\vec {q}}|}$についての表現を使用するのは正しくないことに注意。

縮退したガス(T=0)において、フェルミエエネルギーは次式で与えられる。

${\displaystyle E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}}$,

よって密度は、

${\displaystyle n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{f}\right)^{\frac {3}{2}}}$.

T=0では${\displaystyle E_{f}\equiv \mu }$、よって${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{f}}}}$。

これを上述の3次元遮蔽波数の式に代入すると、

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{f}}}}}$.

これは3次元におけるトーマス-フェルミ遮蔽波数である。

なお、デバイ遮蔽は非縮退極限の場合を記述する。結果は${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}}$であり、3次元のデバイ遮蔽波数である。

まず長波長極限 (${\displaystyle q\to 0}$)を考える。リンドハード公式の分母について、

${\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}$,

また分子について、

${\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}}$.

これらをリンドハード公式に代入し、極限${\displaystyle \delta \to 0}$をとると、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{k}{\frac {\partial f_{j}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}(q)}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}}$

ここで${\displaystyle E_{k}=\hbar \epsilon _{k}}$、${\displaystyle V_{q}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}}$、${\displaystyle \omega _{pl}^{2}(q)={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}}$を用いた。

次に静止極限(${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$)を考える。リンドハード公式は次のようになる。

${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}}$.

上述の式を分母と分子に代入すると、

${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}$

熱平衡でのフェルミ-ディラックキャリア分布を仮定すると、

${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}}$

ここで${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$、${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}}$を用いた。

よって、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}}$

${\displaystyle \kappa }$は${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}$で定義される2次元での遮蔽波数（2次元での遮蔽長の逆数）である。

ここで2次元での静的に遮蔽されたクーロンポテンシャルは次式で与えられる。

${\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}}$.

2次元フェルミ気体の化学ポテンシャルは次式で与えられることが知られている。

${\displaystyle \mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}}$,

また${\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}}$である。

よって2次元での遮蔽波数は、

${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {m}{\hbar ^{2}\pi }}(1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m})={\frac {2me^{2}}{\hbar ^{2}\epsilon }}f_{k=0}.}$

これはnに依存しないことに注意。

ここでは次元を下げたいくつかの限られた場合を考える。次元を下げると、遮蔽効果は弱くなる。低次元では、一部の力線が遮蔽効果が無い物質を貫く。1次元の場合、ワイヤ軸に非常に近い力線にのみ遮蔽が影響を与えると考えられる。

実際の実験では、単一フィラメントのような1次元の場合を扱っていたとしても、3次元バルクの遮蔽効果も考慮する必要がある。D. Davisは、フィラメントと同軸円筒に閉じ込められた電子ガスにトーマス-フェルミ遮蔽を適用した^[3]。K₂Pt(CN)₄Cl_0.32·2.6H₂0では、フィラメントと同軸円筒との間の領域内のポテンシャルは${\displaystyle e^{-k_{eff}r}/r}$で変化し、有効遮蔽長は金属白金の約10倍であることが分かっている。

• 遮蔽

• Haug, Hartmut; W. Koch, Stephan (2004). Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors (4th ed.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.. ISBN 981-238-609-2