リーマンのクシー関数

リーマンのもともとの小文字のクシー関数、ξ はエトムント・ランダウによって大文字のクシー Ξ に改名された（下記参照）。ランダウの小文字クシー ξ は次のように定義される^[1]： s ∈ C に対して

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {1}{2}}s\right)\zeta (s).}$

ここで ζ(s) はリーマンのゼータ関数を表し、Γ(s) はガンマ関数である。クシーの関数等式（あるいは reflection formula（英語版））は

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)}$

である。大文字のクシー Ξ は Landau (loc. cit., §71) によって

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\frac {1}{2}}+zi\right)}$

と定義され、関数等式

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)}$

をもつ。Landau (loc. cit., p. 894) によって報告されているようにこの関数 Ξ はリーマンがもともと ξ によって表記した関数である。

偶数に対する一般式は

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!}$

である、ただし B_n は n 番目のベルヌーイ数を表す。例えば

${\displaystyle \xi (2)={\pi \over 6}}$

である。

クシー関数は級数展開

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}}$

をもつ、ただし

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}$

であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 ρ を |Im(ρ)| の順番で渡る。

この展開は Li's criterion（英語版） においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の n に対して λ_n > 0 であることと同値であるというものである。

単純な無限積展開は

${\displaystyle \Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$

ただし ρ は ξ の根を走る。

展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち ρ と 1 − ρ の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。

• 与えられた数より小さい素数の個数について - クシー関数を導入したリーマンの論文