リーマンの存在定理

X をコンパクトリーマン面, ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{s}}$ をXの相異なる点、 ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{s}}$ を複素数とする. この時ある有理型関数 ${\displaystyle f}$ on X があって ${\displaystyle f(p_{i})=a_{i}}$ for each iを満たす.

For now, see SGA 1, Expose XII, Théorème 5.1., or SGA 4, Expose XI. 4.3.

この定理には数多くの帰結 がある.

定義より X を複素代数多様体とすると, X の幾何的点xにおけるエタール基本群 は次のような射影極限である:

${\displaystyle \pi _{1}^{{\acute {e}}t}(X,x)=\varprojlim \operatorname {Aut} _{X}(Y)}$

ここで ${\displaystyle Y}$ は ${\displaystyle X}$の全ての有限ガロア被覆を渡る. リーマンの存在定理より, ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{X}(Y)=\operatorname {Aut} _{X^{an}}(Y^{an}).}$ よって, ${\displaystyle \pi _{1}^{{\acute {e}}t}(X,x)}$ 通常の位相的基本群${\displaystyle \pi _{1}(X^{an},x)}$ of X at xの副有限完備化である事がわかる.^[1]

• 代数幾何学と解析幾何学