リーマン和

例えば、${\displaystyle [1,2]}$ で ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ のとき

等差数列 ${\displaystyle x_{k}=1+{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$ をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}+{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}$

となる^[5]。

等比数列 ${\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$ をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}}$

となる。

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ は${\displaystyle [1,2]}$ で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}}$

の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、${\displaystyle n\to \infty }$ の極限で収束するので、

${\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}={\frac {7}{3}}}$

が得られる。

${\displaystyle [1,2]}$ で ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ のとき

等比数列 ${\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$ をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k-1}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$

となる^[6]。 ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ は${\displaystyle [1,2]}$ で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\xi _{k}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}}$

の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、${\displaystyle n\to \infty }$ の極限で収束するので、

${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$

が得られる。