リーマン幾何学の基本定理

m を M の次元とし、ある局所座標系で、標準座標のベクトル場

${\displaystyle {\partial }_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\qquad i=1,\dots ,m.}$

を考える。すると、局所的に、計量テンソルの要素 g_ij は、

${\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\partial }_{i},{\partial }_{j}\right\rangle }$

として与えられる。接続を特定するためには、すべての i, j と k に対し、

${\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle }$

であることで充分である。また、局所的には、接続は、m³ 滑らかな函数であり、

${\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\},}$

により与えられる。ここに、

${\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{l}\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l}}$

である。捩れのない性質は、

${\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}}$

を意味する。他方、リーマン計量との整合性は、

${\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=\left\langle \nabla _{\partial _{k}}\partial _{i},\partial _{j}\rangle +\langle \partial _{i},\nabla _{\partial _{k}}\partial _{j}\right\rangle }$

を意味する。固定された i, j と k に対し、置換すると 6 変数の 3つの方程式が与えられる。捩れのない前提は、変数の数が 3 となる。結果として現れる 3つの方程式の線型系は、一意な解

${\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right).}$

を与える。これは第一クリストッフェルの恒等式(first Christoffel identity)である。

アインシュタインの総和記号を使い、

${\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\Gamma _{ij}^{l}g_{lk},}$

を得る。すなわち、繰り返し使われるインデックスは、すべての値を渡り足し上げる。計量テンソルをひっくり返すと、第二クリストッフェルの恒等式(second Christoffel identity)を得られる。

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{l}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right)g^{kl}.}$

繰り返すが、アインシュタイの総和記法を使う。結果として得られる唯一の接続は、レヴィ・チヴィタ接続と呼ばれる。

リーマン幾何学の基本定理の別の証明は、リーマン多様体上の捩れのない接続は必然的にKoszul公式(Koszul formula)により与えられることを示すことである。

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=\partial _{X}(g(Y,Z))+\partial _{Y}(g(X,Z))-\partial _{Z}(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).}$

このことは、レヴィ・チヴィタ接続の一意性を証明する。存在証明は、この表現では X と Z がテンソル的で、Y がライプニッツ則を満たし、よって接続を定義すること示すことで証明される。Y と Z の公式の対称的部分は、第一行の第一項であり、これは計量接続である。X と Y の公式の反対称部分は第二行の第一項である。

• ナッシュの埋め込み定理