多様体

多様体に局所座標系（チャート）を導入することは、地球上の地図を作る作業に例えられる。地図の上の点は地球上の点に対応し、地図に緯線や経線（座標グリッド）を描き込むことによって、その地域の位置関係を数値で表すことができる。

地球は球であり、世界地図を一枚の平面的な地図におさめようとすれば、南極大陸が肥大化したり、地図の端の方では一枚の地図の中に（連続性を表現するために）同じ地点が複数描き込まれたりする。世界地図をいくつかの小さな地図に分割すると、こういった奇妙なことはある程度回避できる。例えば、北極を中心とした地図、南極を中心とした地図、ハワイを中心とした地図、ガーナを中心とした地図…… などのように分割できる。そして隣り合った地図の繋がりをそれぞれの地図に同じ地域を含めることで表現すればよい。こうすることによって異なる地図同士では重複する部分が出てきてしまうものの、一枚の地図の中に同じ地域が 2 箇所以上描かれることをなくすことはできる。

地球と同じように、多様体は局所的に小さな地図（局所座標系）を描くことができる図形である。逆に、このような局所的な空間を繋ぎ合わせることで、全体としてどのような図形ができあがるのか、という問題は位相幾何学の主要なテーマの一つである。個々の地図だけを見れば平坦な空間（ユークリッド空間）のように見えても、全体としては球面やトーラスのように複雑な構造を持っている場合がある^{[注 2]}。

多様体は局所的にユークリッド空間と同相であるという性質を持つ図形である。円や球などは多様体の代表例である。多角形や多面体なども、位相多様体としては多様体として扱える（ただし、頂点や辺などの滑らかでない部分を持つため、そのままでは可微分多様体にはならない）。一方、交叉を持つ曲線や、ペアノ曲線、フラクタル図形などは、局所的にユークリッド空間と見なすことができないため、多様体にはならない。

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局所座標系

M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、m 次元ユークリッド空間の開集合 U ' への 同相写像

${\displaystyle \varphi \colon U\to U'}$

を局所座標系 (local coordinate system) あるいは（局所）チャート (chart) という。 a ∈ M に対し、φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標すなわち m 個の数の組 (φ₁(a), ..., φ_m(a)) であるのに対し、局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ₁, ..., φ_m) の組である。

局所座標を用いることにより U 上の点を m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) あるいはチャートという。局所座標系の成分を明示的に (U;φ₁, ..., φ_m) のように書き表すこともある。

M の二つの座標近傍 (U,φ) と (V,ψ) について、 U ∩ V が空でないとする。局所座標系 φ と ψ は U と V をそれぞれ m 次元ユークリッド空間の開集合 U ', V ' に写すとする。すなわち

${\displaystyle \varphi \colon U\to U',}$

${\displaystyle \psi \colon V\to V'}$

である。このとき

${\displaystyle \psi \circ \varphi ^{-1}\colon \varphi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)}$

は、m 次元ユークリッド空間の開集合から開集合への同相写像になる。この写像を (U, φ) から (V, ψ) への座標変換 (coordinate transformation) という。座標変換を用いれば、同じ開集合 U ∩ V に定義された異なる局所座標 φ と ψ を同じものとして扱うことができる。

座標変換はまず φ⁻¹ で M に戻してから ψ によって座標のある集合 V ' に写す写像である。間に座標が決められていない空間 M を挟む形になっているものの、座標変換全体はユークリッド空間の部分集合 U ' からユークリッド空間の部分集合 V ' への写像になっている。すなわち M を経由しているという事実を無視し、座標変換を合成写像としてではなく全体で 1 つの写像として捉えると、それは普通のユークリッド空間からユークリッド空間への写像である。

m 次元座標近傍の族 S = {(U_λ, φ_λ) | λ ∈ Λ} が M 全体を覆っているとする:

${\displaystyle M=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }.}$

このとき、S を座標近傍系 (system of coordinate neighborhoods) あるいはアトラス (atlas) という。アトラスというのは地図帳のことで、局所的な地図であるチャートをいくつも集めて作った地図帳という意味である。

位相多様体

M をハウスドルフ空間とし、かつ第二可算公理を満たす（すなわち、可算な開基を持つ）ものとする^{[注 3]}。M の任意の点 a に対して、a を含む m 次元座標近傍 (U, φ) が存在するとき、M を（境界のない）m 次元位相多様体 (topological manifold) という。

これまで、局所座標 φ(a) はユークリッド空間 R^m に値を取ると考えてきたが、代わりに半空間 H^m = {(x₁, x₂, ..., x_m) ∈ R^m | x_m ≥ 0} に値を取ると考え局所座標の定義を修正すると境界のある位相多様体が定義される。

N をハウスドルフ空間とし、N の任意の点 a に対して、a を含む m 次元座標近傍 (U, φ) が存在するとする。

半空間 H^m = {(x₁, x₂, ..., x_m) ∈ R^m | x_m ≥ 0} の部分空間として G^m−1 = {(x₁, x₂, ..., x_m) ∈ R^m | x_m = 0} を取ればそれは R^m−1 になる。 N の座標近傍系 S = {(U_λ, φ_λ) |λ ∈ Λ} に対し、各座標近傍 (U_λ, φ_λ)

${\displaystyle \varphi _{\lambda }:U_{\lambda }\to U'_{\lambda }\subset H^{m}}$

において W_λ = { a ∈ U_λ | φ_λ(a) ∈ G^m−1} という集合を考えたとき

${\displaystyle \partial N:=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }W_{\lambda }}$

を N の境界という。∂N が空でないとき N を 境界のある m 次元位相多様体という。境界のある m 次元位相多様体の境界は m − 1 次元位相多様体になる。

可微分多様体

m 次元位相多様体 M の座標近傍系 S = {(U_λ, φ_λ) | λ ∈ Λ} の任意の 2 つの座標近傍 (U₁, φ₁), (U₂, φ₂) に対し、U₁ ∩ U₂ が空でないならば座標変換

${\displaystyle \varphi _{1}\circ \varphi _{2}^{-1}:\varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}$

のすべての成分が、Cⁿ 級関数（n 回連続微分可能関数、すなわち n 回微分可能でありかつ n 階偏導関数がすべて連続となるような関数）となるとき、S を Cⁿ 級座標近傍系という。

m 次元位相多様体 M が、Cⁿ 級座標近傍系を持つとき、 Mを Cⁿ 級 m 次元微分可能多様体（あるいは可微分多様体、differentiable manifold of class Cⁿ) という。微分可能とか、可微分といった言葉を省略して Cⁿ 級多様体ということもある。位相多様体のことを、座標変換の微分可能性を仮定しないという意味で C⁰ 級多様体と呼ぶこともある。 C^∞ 級多様体のことを滑らかな多様体とも呼ぶ。特に n = ω すなわち、全ての座標変換が実解析関数であるときは特に解析多様体 (analytic manifold) という。

ここで、自然数 s, t が s ≤ t を満たすとき、定義より、C^t 級関数は C^s 級関数である。

例えば 5 回連続微分可能な関数は、4 回連続微分可能な関数でもある。

このことから、C^t 級微分可能多様体は C^s 級微分可能多様体でもある。

微分可能多様体は、Cⁿ 級座標近傍系 Sの取り方によってはまったく別の多様体になってしまうので、 位相多様体 M と座標近傍系 S を対にして (M, S) と書くこともある。この意味で S は位相多様体 M に Cⁿ 級可微分構造 (differentiable structure of class Cⁿ) を定めると表現されることもある。

座標近傍系同士の関係や性質など座標近傍系の基本的な性質に関わることを論じる場合に、(M, S) と明示すると分かりやすい。

極大座標近傍系

m 次元位相多様体 M に対し Cⁿ 級座標近傍系として S と T の 2つを取るとする。和集合 S ∪ T が再び M のCⁿ 級座標近傍系になるとき、 S と T は同値であるという。これは同値関係を定める。これは S に属する座標近傍と T に属する座標近傍の間にも座標変換が存在し S での計算と T での計算に違いが無いという性質を保証するための同値関係である。

さらに、 M 上の S と同値な Cⁿ 級座標近傍系全ての和集合を取ることによって得られる F = F(S) を S によって生成された M の Cⁿ 級極大座標近傍系あるいは M の Cⁿ 級微分構造という。定義により、同じ微分構造を定める座標近傍系同士は同値である。

こうして座標近傍系の取り方に依存しない Cⁿ 級多様体が定義される。m 次元位相多様体 M 上に互いに微分同相でない複数の微分構造が存在することもある。

境界を持つ多様体すなわち境界を有する多様体は縁（ふち、英: edge）を持つ多様体である。たとえば、一枚の紙は1次元の境界を持つ二次元多様体である。境界を持つ${\displaystyle n}$次元多様体の境界は${\displaystyle (n-1)}$次元多様体である。円板（円周と内部）は境界を持つ二次元多様体である。その境界は円周であり、一次元多様体である。正方形も境界を持つ二次元多様体である。球体（球面と内部）は境界を持つ三次元多様体である。その境界は球面であり、二次元多様体である。（境界 (位相空間論)と混同しないこと）。

ユークリッド空間

多様体の例でもっとも簡単なものは、 m 次元ユークリッド空間 R^m に座標近傍系として S₁ = {(R^m, id)} をいれたものである。ここで id は恒等写像

id: R^m → R^m

id(x) = x

である。恒等写像はもちろん解析的なので (R^m,S₁) は m 次元解析多様体である。このように R^m は自然に微分可能多様体となる。

開部分多様体

S₁ = {(U_λ, φ_λ) | λ ∈ Λ} を座標近傍系にもつ m 次元 Cⁿ 級多様体 (M₁,S₁)と、 M の開集合Vに対して S₂ = {(U_λ ∩ V, φ^v_λ) | λ ∈ Λ} を考える。ここで、 φ^v_λ は 、φ の定義域を U_λ から U_λ ∩ V に制限した写像とする。

このとき (V, S₂) も m 次元 Cⁿ 級多様体となる。この多様体を (M₁,S₁) の開部分多様体 (open submanifold) という。

円周と球面

単位円

S¹ = {(x₁, x₂) ∈ R² | x₁² + x₂² = 1}

を考える。単位円は次の 4 つの開近傍で覆うことができる。

U₁⁺ = {(x₁, x₂) ∈ S¹ | x₁ > 0}

U₁⁻ = {(x₁, x₂) ∈ S¹ | x₁ < 0}

U₂⁺ = {(x₁, x₂) ∈ S¹ | x₂ > 0}

U₂⁻ = {(x₁, x₂) ∈ S¹ | x₂ < 0}

それぞれに局所座標系を次の様に定める。ただし I = ( − 1,1) とする。

φ₁⁺: U₁⁺ → I , φ₁⁺(x₁, x₂) = x₂

φ₁⁻: U₁⁻ → I , φ₁⁻(x₁, x₂) = x₂

φ₂⁺: U₂⁺ → I , φ₂⁺(x₁, x₂) = x₁

φ₂⁻: U₂⁻ → I , φ₂⁻(x₁, x₂) = x₁

そして座標近傍系を

T = {(U₁⁺,φ₁⁺), (U₁⁻,φ₁⁻), (U₂⁺,φ₂⁺), (U₂⁻,φ₂⁻)}

と取れば、(S¹,T) は 1 次元解析多様体になる。

m 次元単位球面

S^m = {(x₁, ..., x_m, x_m+1) ∈ R^m+1 | x₁² + … + x_m² + x_m+1² = 1}

についても同じようにして 2(m+1)個の開近傍で覆うことができ、それぞれの開近傍は m 次元開球と同相であるので、局所座標系を定めることができ m 次元解析多様体になる。

積多様体

S₁ = {(U_λ, φ_λ) | λ ∈ Λ} を座標近傍系にもつ a 次元 Cⁿ 級多様体 (M₁,S₁) と S₂ = {(V_τ, ψ_τ) | τ ∈ Τ} を座標近傍系に持つ b 次元 Cⁿ 級多様体 (M₂,S₂) を考える。

直積集合 M₁ × M₂ は直積位相によってハウスドルフ空間となる。それぞれの座標近傍 (U_λ, φ_λ) と (V_τ, ψ_τ) に対し、開集合 U_λ と V_τ の直積 U_λ × V_τ とその上で定義された写像 φ_λ × ψ_τ によって座標近傍同士の直積 (U_λ × V_τ, φ_λ × ψ_τ) が定義される。

ここで U_λ × V_τ は、 p ∈ U_λ と q ∈ V_τ を取ったときの (p,q) という組の全体である。写像の直積 φ_λ × ψ_τ は U_λ × V_τ の上で定義された

(φ_λ × ψ_τ)(p,q) = (φ_λ(p), ψ_τ(q))

という写像である。

この式の右辺は成分で表せば (φ₁(p),φ₂(p), … ,φ_a(p), ψ₁(p),ψ₂(p), … ,ψ_b(p)) のことであり、単に成分を並べたものと考えてよい。

このように座標近傍同士の直積によって座標近傍系 S₃ = {(U_λ × V_τ, φ_λ × ψ_τ) | λ ∈ Λ , τ ∈ Τ} を定めたとき、 (M₁ × M₂, S₃) は、 a + b 次元 Cⁿ 級多様体になる。この (M₁ × M₂, S₃) を (M₁,S₁) と (M₂,S₂) の積多様体 (product manifold) という。同様にして M₁ × M₂ × … × M_m というような、 3 つ以上の多様体から作られる積多様体も定義できる。

直線と円周の直積 R¹ × S¹ を考えれば、直線を軸とした無限に伸びる円柱の側面を多様体と見ることもできるし、円周同士の直積 T² = S¹ × S¹ を考えればトーラスを多様体とみることもできる。

実射影空間

n + 1 次元実ベクトル空間の1次元部分空間それぞれを点とみなし、それら全体からなる空間をn 次元実 射影空間という。n 次元実 射影空間は、n + 1個の座標近傍で覆うことで解析多様体となる。

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m 次元 Cⁿ 級多様体 M 上で定義された実数値関数 f を考える。

f: M → R

M に座標近傍系 S = {(U_λ, φ_λ) | λ ∈ Λ} が与えられていて

${\displaystyle \varphi _{\lambda }:U_{\lambda }\to U'_{\lambda }}$

とすれば

${\displaystyle f\circ \varphi _{\lambda }^{-1}:U'_{\lambda }\to R}$

つまり q = φ_λ(p) ∈ U′_λ に対し

${\displaystyle f\circ \varphi _{\lambda }^{-1}(q)=f(\varphi _{\lambda }^{-1}(q))=f(p)}$

である。この U′_λ はユークリッド空間の部分集合なので その点である q は (x₁, x₂, ..., x_m) のように数を並べた座標で表すことができる。座標近傍 (U_λ, φ_λ) においてその座標を用いて具体的に f(x₁, x₂, ..., x_m) のように書かれた関数を (U_λ, φ_λ) に関する f の局所座標表示という。

座標近傍 (U₁, φ₁) での関数の表示

${\displaystyle f\circ \varphi _{1}^{-1}:\varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to R}$

を座標近傍 (U₂, φ₂) での表示に変換すると

${\displaystyle (f\circ \varphi _{1}^{-1})\circ (\varphi _{1}\circ \varphi _{2}^{-1}):\varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to R}$

真ん中に挟まれた φ₁⁻¹ と φ₁ の合成により、この写像の実質的な微分可能性は座標変換 φ₁ ∘ φ₂⁻¹ および φ₂ ∘ φ₁⁻¹ の微分可能性に依存する。Cⁿ 級多様体の座標変換は Cⁿ 級であると仮定されているため、多様体全体で定義される関数の微分可能性（滑らかさ）も Cⁿ 級の範囲で論じることが自然である。 したがって

f: M → R

が C^s 級関数であるとは、任意の座標近傍に対し、そこでの局所座標表示が C^s 級関数であることと定義される。ただし 0 ≤ s ≤ n とする。 M 上の C^s 級関数の全体を C^s(M) と表すことがある。

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m₁ 次元 C^s 級多様体 (M₁,S) から m₂ 次元 C^t 級多様体 (M₂,T) への写像 f を考える。

f: M₁ → M₂

それぞれの多様体に与えられている座標近傍系を S = {(U_λ, φ_λ) | λ ∈ Λ} , T = {(V_τ, ψ_τ) | τ ∈ Τ}とする。

f(U_λ) ⊆ (V_τ) とし f を (U_λ, φ_λ) から (V_τ, ψ_τ) への写像として座標を用いて書くと

${\displaystyle \varphi _{\lambda }:U_{\lambda }\to U'_{\lambda }}$

${\displaystyle \psi _{\tau }:V_{\tau }\to V'_{\tau }}$

のとき

${\displaystyle \psi _{\tau }\circ f\circ \varphi _{\lambda }^{-1}:U'_{\lambda }\to V'_{\tau }}$

となる。 これが具体的に座標の成分を用いて

ψ₁ = f(φ₁, ..., φ_m)

ψ₂ = f(φ₁, ..., φ_m)

...

ψ_n = f(φ₁, ..., φ_m)

のように表されるとき、 これを (U_λ, φ_λ) と (V_τ, ψ_τ) に関する f の局所座標表示という。

座標変換を考えるために f(U₁) ⊆ (V₁) , f(U₂) ⊆ (V₂) とし、 U₁ ∩ U₂ が空でないとする。 U₁ ∩ U₂ に対して、座標近傍 (U₁, φ₁) と (V₁, ψ₁) での写像 f の表示

${\displaystyle \psi _{1}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1}:\varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \psi _{1}(V_{1}\cap V_{2})}$

を座標変換を用いて座標近傍 (U₂, φ₂) と (V₂, ψ₂) に関する表示に変換すると

${\displaystyle (\psi _{2}\circ \psi _{1}^{-1})\circ (\psi _{1}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1})\circ (\varphi _{1}\circ \varphi _{2}^{-1}):\varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to \psi _{2}(V_{1}\cap V_{2})}$

それぞれの括弧は、座標系から座標系への写像になっている。左端の括弧は (M₂,T) での座標変換なので C^t 級、右端の括弧は (M₁,S) での座標変換なので C^s 級である。このことからs と t の小さい方（ s = t ならばその値）を u として、この合成写像の微分可能性は高々 C^u 級であり、 u + 1 回以上の連続微分可能性を仮定することは意味を持たない。

したがって

f: M₁ → M₂

が C^r 級写像であるとは、任意の座標近傍に対し、そこでの局所座標表示が C^r 級写像であることと定義される。ただし 0 ≤ r ≤ u = min{s,t} とする。

1 ≤ r ≤ u の時

f: M₁ → M₂

が全単射で f とその逆写像 f⁻¹ がともに C^r 級写像であるとき、 f を C^r 級微分同相写像 (C^r diffeomorphism) という。f が C^r 級微分同相写像であれば、f⁻¹ も明らかに C^r 級微分同相写像である。

M₁ と M₂ の間に C^r 級微分同相写像が存在するとき M₁ と M₂ は互いに C^r 級微分同相 (C^r diffeomorphic) であるという。

R の開区間 I = (a, b) から C^s 級多様体 M への C^r 級写像

φ: I → M

のことを、 C^r 級曲線 (C^r-curve) という (0 ≤ r ≤ s)。

{ φ(t) ∈ M | t ∈ I} という点の集合を曲線というのではなく、写像 φ を曲線というのである。なお、φ の変数 t を媒介変数という。

a ≤ c < d ≤ b

とする。φ が 開区間 I = (a,b) で定義された C^r 級曲線であるとき、 I に含まれる閉区間 [c,d] や 半開区間 [c,d), (c,d] に φ の定義域を制限して得られる写像も C^r 級曲線という。

多様体の歴史はゲッティンゲンで行われたリーマンの講演に始まる（ガウスは1850/1851年の冬学期に行った最小二乗法の講義の中で n 次元多様体の概念を与えた^[1]。リーマンはアウグスト・リッター（英語版）を通じて恐らくそれを知っていた^[1]）。

多様体論は、ロバチェフスキーの双曲幾何学によって始まった非ユークリッド幾何学やガウスの曲面論を背景として様々な幾何学を統一し、 n 次元の幾何学へと飛躍させた。 リーマンがゲッティンゲン大学の私講師に就任するために行った講演『幾何学の基礎に関する仮説について』の中で「何重にも拡がったもの」と表現した概念が n 次元多様体のもとになり n 次元の幾何学に関する研究が始まった。この講演を聴いていたガウスは、その着想を高く評価した。ガウスは普段はあまり表立って他人を褒めることはなかったが、リーマンの講演に関しては例外的にその深遠さを認め、同僚にその素晴らしさを語ったと伝えられる。

年表

• 1826年『平行線公準の厳密な証明』（ロバチェフスキー）
• 1827年『曲面の研究』（ガウス）
• 1829年『幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論』（ロバチェフスキー）
• 1854年6月10日『幾何学の基礎に関する仮説について』（リーマン）
• 1872年エルランゲン目録（クライン）
• 1895年『位置解析』（アンリ・ポアンカレ）
• 1916年一般相対性理論（アルベルト・アインシュタイン）
• 1936年『微分可能多様体』（ハスラー・ホイットニー）

無限次元多様体

次元の有限性という条件を除くことで一般化ができる。無限次元多様体は、実線型位相空間に局所的に同型な位相空間である。

軌道体

→詳細は「 軌道体 （英語: orbifold ）」を参照

軌道体 （英語: orbifold ）とは位相空間においてある種の「特異点」を与える多様体の一般化である。

代数多様体とスキーム

→詳細は「代数多様体」および「スキーム (数学)」を参照

実または複素数体上の非特異な代数多様体は微分可能多様体である。

CW複体

→詳細は「CW複体」を参照

CW複体は、互いに貼り合わされたいくつかの異なった次元の円盤によって形づくられる位相空間である。

ホモロジー多様体

→詳細は「ホモロジー多様体（英語: homology manifolds ）」を参照

ホモロジー多様体（英語: homology manifolds ）とはホモロジー論の観点からみて多様体のようにふるまうところの空間である。

• 接ベクトル空間
• 層 (数学)
• ベクトル場
• 微分形式
• 代数多様体