ルベーグの被覆補題

${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ を ${\displaystyle X}$ の開被覆とする。${\displaystyle X}$ はコンパクトだから有限部分被覆 ${\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}}$ を抜き取ることができる。

各 ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ に対して、${\displaystyle C_{i}:=X\setminus A_{i}}$ とおいて、関数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ を ${\displaystyle f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})}$ で定める。

${\displaystyle f}$ はコンパクト集合上で連続だから、最小値 ${\displaystyle \delta }$ を取る。鍵となる観察は ${\displaystyle \delta >0}$ である。もし ${\displaystyle Y}$ が ${\displaystyle \delta }$ 未満の直径を持つ ${\displaystyle X}$ の部分集合なら、ある ${\displaystyle x_{0}\in X}$ に対して ${\displaystyle Y\subseteq B_{\delta }(x_{0})}$ となる。ここで ${\displaystyle B_{\delta }(x_{0})}$ は半径 ${\displaystyle \delta }$ 中心 ${\displaystyle x_{0}}$ の球を表す（よって ${\displaystyle x_{0}}$ は ${\displaystyle Y}$ の任意の点としてよい）。${\displaystyle f(x_{0})\geq \delta }$ であるから、少なくともひとつ ${\displaystyle i}$ が存在して ${\displaystyle d(x_{0},C_{i})\geq \delta }$ が成り立つ。ところがこのことは ${\displaystyle B_{\delta }(x_{0})\subseteq A_{i}}$ を意味し、したがってとくに ${\displaystyle Y\subseteq A_{i}}$ である。