ループ代数

g を複素リー環とし，C^∞(S¹) を円周多様体 S¹ 上の滑らかな（複素）関数の代数とする．このとき，g と C^∞(S¹) のテンソル積

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1})}$

は，リーブラケットが

${\displaystyle [g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}}$

で与えられる無限次元リー環である．ここで g₁ と g₂ は g の元で，f₁ と f₂ は C^∞(S¹) の元である．

これは S¹ の各点に g を乗せた g の無限個のコピーの直積に対応するものではない，なぜならば滑らかさの制約があるからである．そうではなく，S¹ から g への滑らかな関数，言い換えると，g 内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる．これがループ代数の名前の由来である．

なお，部分代数

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]}$

もループ代数と呼ばれる^[1]．

同様に，S¹ からリー群 G へのすべての滑らかな写像の集合は無限次元リー群をなし（その上の汎関数微分を定義できるという意味でリー群である），ループ群（英語版）と呼ばれる．ループ群のリー環は対応するループ代数である．

このループ代数上のフーリエ変換を，${\displaystyle g\otimes t^{n}}$ を ${\displaystyle g\otimes e^{-in\sigma }}$ と定義することで取ることができる．ただし 0 ≤ σ < 2π は S¹ の座標である．