レギオモンタヌスの問題

現在、この問題は多くの初年度向けの解析の教科書（例えばステュアート^[4]）に演習問題として載っていることから広く知られている。

a = 絵画の下端の高さ

b = 絵画の上端の高さ

x = 壁からの距離

α = 鑑賞者から見た絵画の下端の仰角

β = 鑑賞者から見た絵画の上端の仰角

とする。最大化したい角度は β − α である。この角度の増減はその正接の増減と一致するから、

${\displaystyle \tan(\beta -\alpha )={\frac {\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}}$

の最大化を考えればよく、b − a は正の定数だから分数の部分を最大化すればよい。微分すると

${\displaystyle {d \over dx}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}\end{cases}}}$

となるから、x が 0 から √ab の範囲で増加、√ab 以上の範囲で減少する。よって x = √ab （ a  と  b の幾何平均）のとき最大になる。

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+ab}}}$ の最大化を考えるところまでは同じで、これはその逆数

${\displaystyle {\frac {x^{2}+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}}$

を最小化することと同じである。この式は平方完成によって

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{\frac {ab}{x}}&=\underbrace {\left({\sqrt {x}}^{2}-2{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {ab}{x}}}+{\sqrt {\frac {ab}{x}}}^{2}\right)} _{\text{a perfect square}}+2{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\\&=\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}\end{aligned}}}$

と変形できる。これは平方式の項が0になるとき、つまり x = √ab のとき最小になる（もしくは相加相乗平均の不等式を利用してもよい）。