ワイルの補題 (ラプラス方程式)

${\displaystyle \Omega }$ を ${\displaystyle n}$-次元ユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ のある開部分集合とし、${\displaystyle \Delta }$ は通常のラプラス作用素を表すものとする。ワイルの補題^[1]では、コンパクトな台を持つすべての滑らかなテスト函数 ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ に対して、次の式

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\Delta \phi (x)\,dx=0}$

を満たす意味でラプラス方程式の弱解となるある局所可積分函数 ${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$ が存在するなら、（測度 0 の集合上での定義の違いを除いて）${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ は滑らかであり、${\displaystyle \Omega }$ 内の各点で ${\displaystyle \Delta u=0}$ を満たすことが示されている。

この結果は、${\displaystyle \Omega }$ における調和函数の内部正則性（interior regularity）を意味するが、境界 ${\displaystyle \partial \Omega }$ 上での正則性については何も示されていない。

ワイルの補題を証明するために、適切な軟化子 ${\displaystyle \phi _{\epsilon }}$ との函数 ${\displaystyle u}$ の畳み込みを考え、その軟化 ${\displaystyle u_{\epsilon }=\phi _{\epsilon }\ast u}$ がラプラス方程式を満たすことを示す。これは ${\displaystyle u_{\epsilon }}$ が平均値の性質を持つことを意味する。極限 ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ を取り、軟化子の性質を用いることで、${\displaystyle u}$ もまた平均値の性質を持つことが分かるが、このことはそれがラプラス方程式の滑らかな解であることを意味する^[2]。また別の証明では、ラプラシアンの基本解あるいは適切な楕円型のアプリオリ評価の滑らかさが利用される。

より一般に、同様の結果はラプラス方程式のすべての超函数の解に対しても成り立つ。すなわち、${\displaystyle T\in D'(\Omega )}$ がすべての ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ に対して ${\displaystyle \langle T,\Delta \phi \rangle =0}$ を満たすなら、${\displaystyle T=T_{u}}$ はラプラス方程式の滑らかな解 ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ に関連する正則な超函数である^[3]。