一様有界性

実数直線および複素平面において

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}}$

を、${\displaystyle I}$ によって添え字付けられている関数の族とする。ここで ${\displaystyle X}$ は任意の集合で、${\displaystyle K}$ は実数あるいは複素数の集合である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ が一様有界であるとは、

${\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X}$

を満たすようなある実数 ${\displaystyle M}$ が存在することを言う。

距離空間

一般的な場合として ${\displaystyle Y}$ を、距離 ${\displaystyle d}$ を備える距離空間とする。このとき、集合

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}$

が一様有界であるとは、

${\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X}$

を満たすような ${\displaystyle Y}$ の元 ${\displaystyle a}$ と、ある実数 ${\displaystyle M}$ が存在することを言う。