関数解析学 - Wikiwand

関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している^[1]^[2]^[3]^[4]。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される^[1]^[2]^[3]^[4]。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い^[1]^[2]^[3]。また、無限次元空間上での微分 (フレシェ微分など) を扱うため、無限次元空間上での微分積分学という捉え方も可能である^[4]。

プロジェクト数学

ポータル数学

名前の由来

1880年代に変分法の研究の中で関数の集合から実数への写像という概念が登場した^[5]。この写像をヴォルテラは汎関数（functional）と呼んだ。ピンケルレ、ヴォルテラ、アスコリ（英語版）、アルツェラ（英語版）といったイタリアの数学者たちは、汎関数を用いた解析学の構築を試みた。その後、フランスのポール・レヴィがこの分野を関数解析（functional analysis）と呼び、この用語が定着した。

20世紀前半には、ステファン・バナッハ、ダフィット・ヒルベルト、ジョン・フォン・ノイマン、フリジェシュ・リースらによって、バナッハ空間やヒルベルト空間の理論が確立され、関数解析学は数学の独立した一分野として発展した。特に、1930年代のバナッハの研究は、この分野の基礎を築くものとなった。

第二次世界大戦後、関数解析学はさらなる発展を遂げた。1940年代から1950年代にかけて、ローラン・シュワルツによる分布(超関数)の理論が確立され、偏微分方程式論に革新をもたらした。イズライル・ゲルファントは表現論と関数解析を結びつけ、作用素環の理論を発展させた。1950年代にはアレクサンドル・グロタンディークによる位相ベクトル空間の一般理論が構築された。

概要

関数解析学の主要な研究対象は、無限次元のベクトル空間、特に関数空間とその上の線型作用素である。有限次元の線型代数学における概念(ベクトル、線型写像、固有値など)を無限次元空間に拡張し、完備性や位相の概念を取り入れることで、より豊かな理論が展開される。

関数解析学で扱われる主要な空間のクラスとして、バナッハ空間(完備なノルム空間)、ヒルベルト空間(内積を持つ完備空間)、フレシェ空間、より一般的な位相線型空間などがある。これらの空間上で定義される線型作用素、特に連続な線型作用素の性質を調べることが、関数解析の中心的なテーマの一つである。

関数解析学の理論は、偏微分方程式論、量子力学、数値解析、最適化理論、制御理論、機械学習など、数学内外の広範な分野において基礎的な役割を果たしている。

ノルム線型空間

関数解析学で研究された基本的かつ歴史的に最初の空間のクラスは、実数または複素数上の完備なノルム線型空間である。このような空間はバナッハ空間と呼ばれる。重要な例として、ノルムが内積から生じるヒルベルト空間がある。これらの空間は、量子力学の数学的定式化、機械学習（特に再生核ヒルベルト空間の理論）、偏微分方程式、フーリエ解析など、多くの分野において極めて重要である。

より一般的に、関数解析学はバナッハ空間よりも広いクラスの位相線型空間を扱う。重要な例としてフレシェ空間がある。フレシェ空間とは、可算個の半ノルムによって定義される距離化可能な位相を持ち、その距離に関して完備な局所凸空間である。滑らかな関数の空間 $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ や急減少関数の空間 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ (シュワルツ空間)は、フレシェ空間の重要な例であり、フーリエ解析や分布理論において中心的な役割を果たす。さらに一般的な局所凸空間や、超関数の理論で用いられる帰納的極限位相を持つ空間なども研究対象となる。

関数解析学における重要な研究対象は、バナッハ空間やヒルベルト空間上で定義された連続な線型作用素である。これらの作用素の全体は、適切な演算と位相を備えることで代数的構造を持つ。特にヒルベルト空間上の有界作用素全体は、作用素ノルム、作用素の合成、随伴作用素という演算を備えることで、C*-代数の構造を持つ。C*-代数とは、ノルムと*-演算(随伴)を備え、C*恒等式 $\|T^{*}T\|=\|T\|^{2}$ を満たすバナッハ代数である。この抽象的な枠組みは、量子力学の数学的定式化や非可換幾何学において中心的な役割を果たす。また、フォン・ノイマン環に代表される作用素環(作用素の代数で弱作用素位相などに関して閉じているもの)の理論は、エルゴード理論や場の量子論との深い関連を持つ。

バナッハ空間

一般的なバナッハ空間はヒルベルト空間よりも複雑であり、ヒルベルト空間ほど単純な方法で分類することはできない。特に、多くのバナッハ空間には正規直交基底に類似した概念が欠けている。

バナッハ空間の重要な例として、実数 $1\leq p\leq \infty$ に対する $L p$ 空間が挙げられる。

集合 $X$ 上の測度 $\mu$ が与えられたとき、 $1\leq p<\infty$ に対してルベーグ空間 $L^{p}(X)$ （ $L^{p}(X,\mu )$ または $L^{p}(\mu )$ とも表記される）は、 $X$ 上で定義された可測関数であって、その絶対値の $p$ 乗が可積分であるもの全体からなる空間である。ただし、測度0の集合を除いて等しい関数は同一視される（すなわち、ほとんど至る所等しい関数の同値類として定義される）。具体的には、次の条件を満たす可測関数 $f$ の同値類の全体である。

$\int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .$

また、 $p=\infty$ の場合、 $L^{\infty }(X)$ は本質的に有界な可測関数の空間であり、そのノルムは本質的上限（essential supremum）によって定義される。

もし $\mu$ が数え上げ測度であれば、積分は和に置き換えることができる。すなわち、次を要求する。 $\sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .$

この場合、同値類を扱う必要はなく、空間は $\ell ^{p}(X)$ と表記され、 $X$ が非負の整数の集合である場合は、より単純に $\ell ^{p}$ と書かれる。

バナッハ空間において、研究の大部分は双対空間に関わるものである。双対空間とは、その空間から基礎体(実数または複素数)へのすべての連続線型写像(いわゆる汎関数)の空間である。双対空間の研究は、元の空間の幾何学的性質や解析的性質を理解する上で不可欠であり、また変分法や最適化理論においても中心的な役割を果たす。

バナッハ空間 $X$ は、その「第二双対空間」(双対空間の双対) $X^{**}$ の部分空間と正準的に同一視できる。この正準的な埋め込みは常に等長写像であるが、一般には全射ではない。全射である場合、すなわち $X=X^{**}$ (等長同型の意味で)が成り立つとき、 $X$ は反射的であるという。有限次元の場合はすべて反射的であるが、無限次元バナッハ空間は一般には反射的でない。例えば、 $\ell ^{1}$ や $c_{0}$ (0に収束する数列の空間)は反射的でない。

双対性の理論において重要な概念として、通常のノルム位相よりも弱い位相が導入される。バナッハ空間 $X$ 上の弱位相は、双対空間 $X^{*}$ の元を用いて定義される最弱の位相である。また、双対空間 $X^{*}$ 上の汎弱位相は、元の空間 $X$ の元を用いて定義される最弱の位相である。バナッハ＝アラオグルの定理により、双対空間の単位球は汎弱位相に関してコンパクトである。この事実は、変分法における汎関数の最小化問題の解の存在証明などで極めて重要な役割を果たす。

無限次元バナッハ空間の解析において注意すべき点は、ノルム位相に関する有界閉集合が必ずしもコンパクトではないことである（リースの補題）。このため、より弱い位相（弱位相や汎弱位相）が導入され、双対空間の単位球が弱*コンパクトになること（バナッハ＝アラオグルの定理）などが、変分法における解の存在証明などで重要な役割を果たす。

また、微分の概念をバナッハ空間間の任意の関数に拡張することができる。例えば、フレシェ微分の記事を参照のこと。

ヒルベルト空間

ヒルベルト空間は、内積が定義されたベクトル空間であり、その内積から誘導されるノルムに関して完備な空間である。すなわち、ヒルベルト空間は特殊なバナッハ空間であり、ノルムが内積から生じるという追加の構造を持つ。ヒルベルト空間の最も重要な性質の一つは、リースの表現定理により、その双対空間が元の空間と自然に（反線型）同一視できることである。これにより、ブラ・ケット記法のような直感的な計算が可能となる。

ヒルベルト空間は、その正規直交基底の濃度（ヒルベルト次元）によって完全に分類される。すなわち、同一の次元を持つヒルベルト空間は互いに同型である^[6]。有限次元ヒルベルト空間は線型代数学においてよく理解されている一方、無限次元の可分ヒルベルト空間は、 $\ell ^{2}(\aleph _{0})$ （自然数の濃度を持つ空間）と等長同型となる。可分性は応用上重要であるため、結果としてヒルベルト空間の関数解析学は主にこの空間を扱う。関数解析学における有名な未解決問題として、可分な無限次元ヒルベルト空間上のすべての有界線型作用素が、自明でない閉不変部分空間（英語版）を持つか否かという不変部分空間問題（英語版）がある。バナッハ空間上の有界線型作用素については、不変部分空間を持たない例が存在することが知られている。

主要かつ基礎的な結果

関数解析学、特にバナッハ空間の理論において特に重要な基本定理として、以下の4つが挙げられる。これらは「バナッハ空間論の基本定理」あるいは「関数解析の三大定理」(ハーン=バナッハの定理、開写像定理、閉グラフ定理を指す場合)と呼ばれることもある。

一様有界性原理

一様有界性原理またはバナッハ＝シュタインハウスの定理は、関数解析学における基本的な結果の一つである。ハーン＝バナッハの定理および開写像定理とともに、この分野の礎石の一つと考えられている。基本的な形としては、定義域がバナッハ空間である連続線型作用素（したがって有界作用素）の族に対して、各点ごとの有界性は、作用素ノルムにおける一様有界性と同値であることを主張する。

この定理は1927年にステファン・バナッハとフーゴ・シュタインハウスによって最初に発表されたが、ハンス・ハーンによっても独立に証明された。

定理（一様有界性原理） ― $X$ をバナッハ空間、 $Y$ をノルム線型空間とする。 $F$ を $X$ から $Y$ への連続線型作用素の族とする。もし、 $X$ 内のすべての $x$ に対して $\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$ が成り立つならば、 $\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty$ である。

ハーン＝バナッハの定理

→詳細は「ハーン＝バナッハの定理」を参照

ハーン＝バナッハの定理は関数解析学における中心的な道具である。これは、あるベクトル空間の部分空間上で定義された有界線型汎関数を空間全体へ拡張することを可能にする。またこれは、すべてのノルム線型空間上に、双対空間の理論を展開するのに十分なだけの豊富な連続線型汎関数が存在することを保証する。

ハーン＝バナッハの定理^[7] ― $p:V\to \mathbb {R}$ が劣線型関数（英語版）であり、 $\varphi :U\to \mathbb {R}$ が線型部分空間 $U\subseteq V$ 上の線型汎関数であって、 $U$ 上で $p$ によって支配されている、すなわち $\varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U$ であるとする。このとき、空間 $V$ 全体への $\varphi$ の線型拡張 $\psi :V\to \mathbb {R}$ であって、 $V$ 上で $p$ に支配されるものが存在する。すなわち、次のような線型汎関数 $\psi$ が存在する。 ${\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}$

開写像定理

→詳細は「開写像定理」を参照

開写像定理は、バナッハ＝シャウダーの定理（ステファン・バナッハとユリウシュ・シャウダー（英語版）に因む）としても知られ、バナッハ空間の間の連続線型作用素が全射であれば、それは開写像であるという基礎的な結果である。より正確には、^[7]

開写像定理 ― $X$ と $Y$ をバナッハ空間とし、 $A:X\to Y$ を全射な連続線型作用素とする。このとき $A$ は開写像である（すなわち、 $U$ が $X$ の開集合であるならば、 $A(U)$ は $Y$ において開である）。

証明にはベールの範疇定理が用いられ、定理においては $X$ と $Y$ の両方の完備性が不可欠である。空間のいずれかが単なるノルム空間であると仮定した場合、定理の主張はもはや真ではないが、 $X$ と $Y$ がフレシェ空間である場合には真である。

閉グラフ定理

→詳細は「閉グラフ定理」を参照

閉グラフ定理は、定義域と終域がバナッハ空間であれば、閉作用素は連続であることを主張する定理である。

閉グラフ定理 ― $X$ と $Y$ をバナッハ空間とする。 $T:X\to Y$ を至る所定義された線型写像とする。もし $T$ のグラフが $X\times Y$ において閉集合であるならば、 $T$ は連続である^[7]。

スペクトル定理

→詳細は「スペクトル定理」を参照

スペクトル定理には様々な形があり、有界作用素に対するものと非有界作用素に対するものがある。以下では、ヒルベルト空間上の有界自己共役作用素に関する定理を述べる。この定理は量子力学や作用素論において基本的な役割を果たす。なお、非有界自己共役作用素に対するスペクトル定理も存在し、量子力学におけるハミルトニアンや運動量演算子などの物理量の記述に不可欠である。

スペクトル定理^[8] ― $A$ をヒルベルト空間 $H$ 上の有界な自己共役作用素とする。このとき、測度空間 $(X,\Sigma ,\mu )$ と、 $X$ 上の実数値本質的有界可測関数 $f$ 、およびユニタリ作用素 $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ が存在して、 $U^{*}TU=A$ となる。ここで T は以下の掛け算作用素である。 $[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).$ また、 $|T|=|f|_{\infty }$ である。

これは、作用素論と呼ばれる関数解析学の広大な研究分野の端緒となるものである。スペクトル測度（英語版）も参照のこと。

ヒルベルト空間上の有界な正規作用素に対しても、類似のスペクトル定理が存在する。結論における唯一の違いは、 $f$ が複素数値になりうることである。

数学基礎論における考慮事項

関数解析学で扱われる空間のほとんどは無限次元である。そのような空間に対してベクトル空間の基底の存在を示すには、ツォルンの補題が必要になる場合がある。しかし、関数解析学では通常、それとはやや異なる概念であるシャウダー基底（英語版）の方が関連性が高い。多くの定理はハーン＝バナッハの定理を必要とし、これは通常選択公理を用いて証明されるが、厳密にはより弱いブール素イデアル定理で十分である。多くの重要な定理を証明するために必要なベールの範疇定理も、ある形式の選択公理を必要とする。

応用

関数解析学は、現代数学の多くの分野および応用科学において基礎的な役割を果たしている。

偏微分方程式論

関数解析学の最も重要な応用分野の一つが偏微分方程式論である。ソボレフ空間などの関数空間を用いることで、弱解(または一般化解)の概念が定式化され、古典的な意味では解が存在しない問題に対しても解の存在と一意性を証明することが可能となる。ラックス＝ミルグラムの定理やバナッハ＝アラオグルの定理などの関数解析の基本定理は、楕円型偏微分方程式の解の存在証明において中心的な役割を果たす。また、作用素半群の理論は、放物型偏微分方程式や双曲型偏微分方程式の時間発展問題の解析に不可欠である

量子力学

特にヒルベルト空間論は量子力学の数学的基礎である^[9]^[10]。量子力学において、物理系の状態はヒルベルト空間のベクトルで表現され、物理量(観測可能量)は自己共役作用素として記述される。スペクトル定理は、観測可能量の測定値がその作用素のスペクトルとして得られることを数学的に保証する。

数値解析と計算数学

数値解析(特に有限要素法、精度保証付き数値計算)において、関数解析は微分方程式の数値解法の理論的基礎を提供する^[11]^[12]^[13]^[14]。有限要素法においては、ソボレフ空間における弱定式化と、ラックス＝ミルグラムの定理などの存在定理が、数値解法の収束性や誤差評価の理論的根拠となる^[15]。

機械学習とデータ科学

機械学習においても関数解析の理論が重要な役割を果たす。特に再生核ヒルベルト空間の理論は、カーネル法やサポートベクターマシンなどの理論的基礎を与える^[16]。

その他の応用分野

この他にも、関数解析は制御理論、最適化理論、信号処理、画像処理、確率論、統計学など、広範な分野で応用されている。

→「有限要素法」、「精度保証付き数値計算」、「ソボレフ空間」、および「再生核ヒルベルト空間」も参照

主要な研究分野

現代の関数解析学は多岐にわたる研究分野を含んでいる。主要な分野として、以下のようなものが挙げられる。

線型関数解析: バナッハ空間、ヒルベルト空間、位相線型空間などの理論を中心とした分野。一様有界性原理、ハーン–バナッハの定理、開写像定理などの基本定理に基づく理論が展開される。
バナッハ空間の幾何学: バナッハ空間の幾何学的構造や性質を扱う分野。ジャン・ブルガンらによる組合せ論的アプローチ、大数の法則が成立するためのバナッハ空間の特徴付け、型と余型の理論（英語版）、一様凸性などの幾何学的性質の研究が含まれる。
作用素論と作用素環論: ヒルベルト空間上の線型作用素の性質を研究する分野。スペクトル理論、C*-代数、フォン・ノイマン環などが主要なテーマである。
非線形関数解析: 非線形作用素や非線形方程式を扱う分野。不動点定理、変分法の理論などが含まれる。
調和解析との関連: フーリエ解析、ウェーブレット解析、特異積分作用素（英語版）の理論など、関数解析と調和解析の境界領域の研究。
非可換幾何学: アラン・コンヌによって提唱された分野で、C*-代数やフォン・ノイマン環を用いて幾何学的対象を研究する。部分的にはジョージ・マッキー（英語版）のエルゴード理論へのアプローチなどの初期の概念に基づいている。
表現論との関連: 位相群の表現論、特に局所コンパクト群のユニタリ表現の理論。イズライル・ゲルファントらによって発展した調和解析的アプローチが含まれる。
数理物理学への応用: 量子力学の数学的定式化、場の量子論、統計力学などにおける関数解析の応用。

主な研究者

海外

日本

[1]
Functional analysis at nLab
[2]
Weisstein, Eric W. "Functional Analysis." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/FunctionalAnalysis.html
[3]
Functional analysis from Encyclopedia of Mathematics
[4]
関数解析の基礎- $\infty$ 次元の微積分-, 堀内利郎 & 下村勝孝, 内田老鶴圃.
[5]
近藤基吉、井関清志『近代数学[下]：現代数学の黎明期』日本評論社、1986年、281頁。ISBN 4-535-78151-6。NDLJP:12608095。
[6]
Riesz, Frigyes (1990). Functional analysis. Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron (Dover ed.). New York: Dover Publications. pp. 195–199. ISBN 0-486-66289-6. OCLC 21228994
[7]
Rudin, Walter (1991) (英語). Functional Analysis. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5
[8]
Hall, Brian C. (2013-06-19) (英語). Quantum Theory for Mathematicians. Springer Science & Business Media. p. 147. ISBN 978-1-4614-7116-5
[9]
新井朝雄, 関数解析学と量子物理学
[10]
原隆, 数学者のための量子力学入門
[11]
大石進一 et. al. (2018), 精度保証付き数値計算の基礎, コロナ社.
[12]
中尾充宏, & 山本野人. (1998). 精度保証付き数値計算チュートリアル: 応用数理最前線.
[13]
中尾充宏, & 渡部善隆. (2011). 実例で学ぶ精度保証付き数値計算, サイエンス社.
[14]
Nakao, Mitsuhiro T; Plum, Michael; Watanabe, Yoshitaka (2019). Numerical verification methods and computer-assisted proofs for partial differential equations. Springer. doi:10.1007/978-981-13-7669-6
[15]
桂田祐史、Poisson方程式に対する有限要素法の解析超特急
[16]
Sam Power, Functional Analysis meets Deep Learning.

参考文献

洋書

英語

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フランス語

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和書

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トレーブ：「位相ベクトル空間・超関数・核 <上>」、吉岡書店、ISBN 4-8427-0165-X (1973年9月15日).
前田周一郎：「函数解析」、森北出版 (1974年).
トレーブ：「位相ベクトル空間・超関数・核 <下>」、吉岡書店、ISBN 4-8427-0178-1（1976年2月25日).
エス・ゲー・クレイン（編）：「増訂新版　関数解析」、総合図書 (1976年8月10日).
コルモゴルフ、フォミーン：「函数解析の基礎 [原書第4版]（上）」、岩波書店 (1979年10月12日).
コルモゴルフ、フォミーン：「函数解析の基礎 [原書第4版]（下）」、岩波書店 (1979年11月9日).
村上温夫：「関数解析」、朝倉書店 (1980年5月30日).
黒田成俊：「関数解析」、共立出版、ISBN 4-320-01106-6 (1980年11月10日).
高橋渉：「非線形関数解析学：不動点定理とその周辺」、近代科学社、ISBN 4-7649-1008-X (1988年5月30日).
ハイム・ブレジス：「関数解析」、産業図書、ISBN 4-7828-0507-1 (1988年10月25日).
藤田宏、黒田成俊、伊藤清三、「関数解析」、岩波書店、ISBN 978-4-00-007810-8 (1991年2月8日)。
増田久弥：「関数解析」、裳華房、ISBN 978-4-7853-1407-1 (1994年6月15日).
州之内治男：「改訂関数解析入門」，サイエンス社、ISBN 4-7819-0742-3 (1994年11月10日).
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竹之内脩:「函数解析」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11657-1 (2004年3月15日).　初版1968年？
岡本久、中村周：「関数解析」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005197-2 (2006年1月26日).
藤田宏：「理解から応用への関数解析」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005201-6 (2007年3月9日).
山田功：「工学のための関数解析」、数理工学社、ISBN 978-4-901683-62-3 (2009年5月10日).
増田久弥(編)：「応用解析ハンドブック」、シュプリンガ－・ジャパン、ISBN 978-4-43110042-3 (2010年2月).
新井仁之：「新・フーリエ解析と関数解析学」、培風館、ISBN 978-4-563-01141-3 (2010年6月30日).
宮寺功：「関数解析」、筑摩書房（筑摩学芸文庫）ISBN 978-4-480-09889-4（2018年11月8日）.
荷見守助、長宗雄、瀬戸道生：「関数解析入門 : 線型作用素のスペクトル」、内田老鶴圃、ISBN 978-4-7536-0089-2 (2018年).
泉正巳：「数理科学のための関数解析学」、サイエンス社、ISBN 978-4-7819-1532-6 (2021年12月25日).
吉田伸生：「関数解析の基礎」、裳華房、ISBN 978-4-7853-1599-3 (2023年8月25日).
竹内慎吾：「数学のとびら関数解析：基本と考え方」、裳華房、ISBN 978-4-7853-1210-7 (2023年10月10日).
エリアス・Ｍ.スタイン、ラミ・シャカルチ：「関数解析：より進んだ話題への入門」、日本評論社（プリンストン解析学講義4）、ISBN 978-4-535-60894-8 (2024年8月)．

解説記事

吉田耕作 (1982)：「函数解析 50 年」、数学、vol.34，no.4，pp.354-364.

数値解析との関係を解説する文献

柴垣和三雄：「関数解析と数値解析入門」、森北出版、ISBN 978-4-627-00340-8 (1973年10月20日).
大石進一 (1997)：「非線形解析入門」, コロナ社、ISBN 978-4-339-02600-9 (1997年4月25日). （PDEに対する精度保証付き数値計算に用いる関数解析の知識を詳述している）
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