一般ディリクレ級数

一般ディリクレ級数（いっぱんでぃりくれきゅうすう、英: general Dirichlet series）とは、

複素数列 $\scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}$ 、無限大に発散する狭義の単調増加列 $\scriptstyle \{\lambda _{n}\}_{n\geq 0}$ および複素数 s に対して、

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。

特に、 $\lambda _{n}=\log n$ のとき、

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

であり、(通常)ディリクレ級数となる。

また、 $\lambda _{n}=n$ 、 $z=e^{-s}$ とすると、

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$

と、ベキ級数になる。

s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。

収束性

収束軸

任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。

任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
一般ディリクレ級数が $\scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{c}$ を満たす複素数 s に対して収束し、 $\scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{c}$ を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 $\scriptstyle \sigma _{c}$ が存在する。

この $\scriptstyle \sigma _{c}$ を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは $\scriptstyle -\infty$ 、常に発散する場合は $\scriptstyle +\infty$ と定める。

収束軸の値の求め方

一般ディリクレ級数

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

の収束軸 $\scriptstyle \sigma _{c}$ の値は、以下の様に求められる。

$\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ が発散する場合
$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |s(n)|}{\lambda _{n}}}$ 。
$\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ が収束する場合
$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}+a_{n+1}+\cdots |}{\lambda _{n}}}$ 。

また、

$\sigma _{c}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!a_{n}\right|$

という式も知られている。

絶対収束性

一般の級数のときと同じく、

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|e^{-\lambda _{n}s}$

が収束するとき、一般ディリクレ級数

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

は絶対収束するという。

絶対収束する複素数 s に対する、 $\operatorname {Re} \ s$ の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは $\scriptstyle -\infty$ 、常に絶対収束しない場合は $\scriptstyle +\infty$ と定める。

ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。

例えば

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}e^{-s\log \log n}$

は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。

一般に、収束軸が有限の値 $\scriptstyle \sigma _{c}$ を持ち、

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}$

が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 $\scriptstyle \sigma _{a}$ は有限の値を持ち、 $\scriptstyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{a}\leq \alpha$ ^[1]であることが知られている。

絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。

一般ディリクレ級数

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

の絶対収束軸 $\scriptstyle \sigma _{a}$ の値は、以下の様に求められる。

$\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|$ が発散する場合
$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log s(n)}{\log n}}$ 。
$\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|$ が収束する場合
$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n}|+|a_{n+1}|+\cdots )}{\log n}}$ 。

また、

$\sigma _{a}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left(\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!|a_{n}|\right)$

が成り立つ。

一様収束性

一般ディリクレ級数を

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

として、s を変数とする関数とみなすと、 $f(s)$ の一様収束性が問題となる。

一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 $\scriptstyle \sigma _{c}$ および絶対収束軸 $\scriptstyle \sigma _{a}$ が有限の値であるならば、このとき、

$\sigma _{c}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}$ ^[2]

を満たす実数 $\scriptstyle \sigma _{u}$ が存在して、 $\scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{u}$ を満たす複素数 s に対して、 $f(s)$ は一様収束するが、 $\scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{u}$ を満たす複素数 s に対して、 $f(s)$ は一様収束しない。　

この $\scriptstyle \sigma _{u}$ を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは $\scriptstyle -\infty$ 、常に一様収束しない場合は $\scriptstyle +\infty$ と定める。

一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。

ディリクレ級数

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

の一様収束軸 $\scriptstyle \sigma _{u}$ の値は、以下の様に求められる。

$\sigma _{u}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {\log T_{x}}{\log x}}$ 。

ここで、

$T_{x}=\!\!\!\!\sup _{-\infty <y<\infty }\left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!a_{n}e^{-i\lambda _{n}y}\right|$ 。

解析的性質

正則性

一般ディリクレ級数

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

は、 $\scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma$ で収束するならば、 $\scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma$ で正則である。さらに、 $f(s)$ の微分は

$f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}^{k}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

で与えられる。

$\scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma$ で正則である様な σ の下限を $\scriptstyle \sigma _{r}$ とおくと。

$\sigma _{r}=\sup _{-\infty <y<+\infty }\limsup _{x\to -\infty }(\log \log ^{+}|\varphi (x+iy)|+x)$ 。

但し、

$\varphi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}e^{-\lambda _{n}z}/\Gamma (1+\lambda _{n})),\ \ \ \log ^{+}z=\max(\log z,\ 0)$ 。

一般ディリクレ級数の一意性

2つのディリクレ級数

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},\ \ \ \ \ g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

が、ある開領域内で収束し、そこで、 $f(s)=g(s)$ が成立するならば、すべての n に対して、 $a_{n}=b_{n}$ である。

一般ディリクレ級数の係数

収束軸 $\scriptstyle \sigma _{c}$ が有限の値もしくは $\scriptstyle -\infty$ である、一般ディリクレ級数

$f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

に対して、ω を $\scriptstyle \lambda _{n}<\omega <\lambda _{n+1}$ を満たす様にとり、 $\scriptstyle c>\max(\sigma _{c},\ 0)$ とする。このとき

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+\infty }a_{n}{\frac {e^{\omega z}}{z}}dz$

が成立する。但し、積分路は、すべての $\lambda _{k}$ を通らない様にとる。

さらに、 $\scriptstyle x>\sigma _{c}$ であるならば、

$a_{n}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{x}^{x+T}\!\!f(x+iy)e^{\lambda _{n}(x+iy)}dy$ 。

一般ディリクレ級数の零点の個数

ε、 δ、T を任意の正数とする。

収束軸 $\scriptstyle \sigma _{c}$ が有限の値である一般ディリクレ級数

$f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$

に対して、 $\scriptstyle \sigma \geq \sigma _{c}+\varepsilon ,\ T<t<T+2\delta \log T$ を満たす複素数 $s=\sigma +it$ のうち、 $f(s)=0$ を満たすものの個数を $N(T)$ とおくと、 $N(T)$ は有限の値であり、