七次方程式

七次方程式（しちじほうていしき、ななじほうていしき、英: septic equation）とは、次数が 7 の多項式を零とおいた代数方程式である。一般形は

a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0

で与えられる。ただし $a_{7}\neq 0$ である。

七次方程式は、未知数についての多項式方程式のうち、最高次の項が 7 次であるものをいう。係数としては通常、実数または複素数を考える。

一般論

代数学の基本定理によれば、複素数係数の 7 次方程式は、重複度を込めて 7 個の複素数解をもつ。

しかし、二次方程式・三次方程式・四次方程式とは異なり、一般の七次方程式には、加減乗除と冪根の有限回の組合せだけで表される一般解は存在しない。これは五次以上の一般代数方程式について成り立つアーベル＝ルフィニの定理の帰結である。

したがって、七次方程式について「解の公式」という場合、一般には

のいずれかを指すことが多い。

七次方程式であっても、特別な形のものは代数的に解ける場合がある。たとえば多項式が一次式や二次式、三次式などに因数分解できる場合には、より低次の方程式へ帰着できる。

また、ガロア群が可解群となる特別な七次方程式では、根号を用いて解を表せる場合がある。したがって、七次方程式の可解性は「7 次であること」そのものより、係数の配置やそれに対応する代数的構造に依存する。

方程式が冪根で解けるかどうかは、その方程式に付随するガロア群が可解群であるかどうかと密接に関係する。一般の高次方程式では非可解な群が現れるため、七次方程式にも一般の根号解は存在しない。

一方で、特定の七次方程式では可解なガロア群をもつことがあり、その場合には代数的解法が可能になる。したがって、七次方程式の理論はガロア理論の典型的な適用例の一つである。

一般の七次方程式を具体的に解く際には、数値解析による近似解法が広く用いられる。多項式の根はコンパニオン行列の固有値として求めることができ、これは一般の多項式方程式の数値解法の基本的な考え方の一つである。

このため、現代の計算実務では、七次方程式に特有の手計算公式を求めるよりも、汎用の高次多項式根探索アルゴリズムによって数値的に解くのが通常である。