ガロア理論

ガロア理論は、代数方程式の解の性質を、その係数が作る体と、解を添加してできる拡大体との関係（対称性）を通じて理解する理論である。

体 L を体 K の有限次ガロア拡大（すなわち、L は K の正規拡大かつ分離拡大）とする。 このとき、「L と K の中間体 M」 と 「ガロア群 Gal(L/K) の部分群 H」 の間には、以下の1対1対応（ガロア対応）が存在する。

${\displaystyle M\longmapsto \operatorname {Gal} (L/M)}$ （M の各元を不変に保つ Gal(L/K) の元全体）

${\displaystyle H\longmapsto L^{H}}$ （H の各元によって不変に保たれる L の元全体）

これについて次の等式が成り立つ。

${\displaystyle M=L^{\operatorname {Gal} (L/M)},~~H=\operatorname {Gal} (L/L^{H}).}$

ただし、Gal(L/M) は拡大 L/M のガロア群であり、L^H は H の作用で不変な L の元を集めた L の部分体を指す。

したがって、「L と K の中間体 M」 と　「ガロア群 Gal(L/K) の部分群 H」の間の相互の対応を与える写像

${\displaystyle \phi :M\to H=\operatorname {Gal} (L/M),~~\psi :M=L^{H}\leftarrow H}$

は互いに逆であり、全単射になることがわかる。また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。

つまり、中間体が M₁ ⊃ M₂ ならば φ(M₁) ⊂ φ(M₂) であり、 部分群が H₁ ⊃ H₂ ならば ψ(H₁) ⊂ ψ(H₂) となる。

さらに、この対応において拡大次数と群の指数（位数）は対応する。すなわち、

${\displaystyle [L:M]=|\operatorname {Gal} (L/M)|}$

${\displaystyle [M:K]=[\operatorname {Gal} (L/K):\operatorname {Gal} (L/M)]}$

が成り立つ。 また、中間体 ${\displaystyle M}$ が ${\displaystyle K}$ の正規拡大であることと、対応する部分群 ${\displaystyle H=\operatorname {Gal} (L/M)}$ がガロア群 ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ の正規部分群であることは同値である。このとき、剰余群 ${\displaystyle G/H}$ と ${\displaystyle M}$ のガロア群の間には、自然な群同型

${\displaystyle \operatorname {Gal} (M/K)\cong \operatorname {Gal} (L/K)/\operatorname {Gal} (L/M)}$

が成り立つ。

有限体上のガロア理論は、理論の基本的かつ明瞭な応用例を提供する。有限体 F_q（q = pⁿ は素数 p の冪）の任意の有限次拡大 F_q^m / F_q はガロア拡大である。

そのガロア群 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{q^{m}}/F_{q})}$ は次数 m の巡回群となる。

このガロア群は、フロベニウス写像（またはフロベニウス自己同型） ${\displaystyle \sigma (x)=x^{q}}$ によって生成される。すなわち、

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{q^{m}}/F_{q})=\{1,\sigma ,\sigma ^{2},\dots ,\sigma ^{m-1}\}}$

である。ガロア理論の基本定理により、中間体は ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{q^{m}}/F_{q})}$ の部分群と1対1に対応する。巡回群の部分群は拡大次数 m の各約数 d に対してただ一つ存在し、これに対応して次数 d の中間体 ${\displaystyle F_{q^{d}}}$ がただ一つ存在する。

抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象から離れ、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱う。拡大体の自己同型と部分群の間の対応が成り立つように、分離性と正規性と呼ばれる二つの条件が要求される。この二つを満たすような代数拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。

与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を求める問題を「ガロアの順問題」、与えられた群をガロア群としてもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を「ガロアの逆問題」と呼ぶ。 特にある有限群が有理数体 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上のガロア拡大のガロア群として実現できるか、という問題は数論における重要な未解決問題の一つである（すべての有限群が実現可能であると予想されているが、解決には至っていない）。

ガロア理論の概念的な萌芽は、ラグランジュによる代数方程式の解法（特にラグランジュ分解式）における根の置換に関する考察に見られる。また、ガウスは、1の冪根（円分方程式）の研究において、その解の構造が巡回群によって記述されることを実質的に示していた。アーベルは、ガロアに先立ち、一般の五次方程式が冪根によって解けないことを証明した。

ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。その後、1846年になって、リウヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載した^[2]ことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった^[3]。そのとき、デデキントはガロアの理論を「ガロア理論」（独: Galois-Theorie）と名づけた^[4]。早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traité des substitutions et des équations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。1871年にデデキントは四則演算で閉じた（数の）集合を「体」（独: Körper）と名づけた。また、デデキントとウェーバーは1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した^[3]。

ソフス・リーによって導入されたリー群は代数方程式に対するガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。その後、エミール・アルティンは、ガロア理論を、体の自己同型群と部分群の対応として捉え直し、線型代数学の手法を用いて理論の公理的な再定式化を行った^[5][6]。現代におけるガロア理論の標準的な叙述の多くは、アルティンによるこの定式化に基づいている。アレクサンドル・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。