三角広底球形屋根丸塔

この立体は2枚の正三角形が正方形の向かい合う2辺に付けられた三日月のような図形3つと、正五角丸塔に類似した1枚の正三角形を3枚の別の正三角形と3枚の正五角形が囲む図形1つと、正六角形に3枚の正三角形が1辺おきに付けられた図形1つからなる。^[1]それゆえ三角広底球形屋根丸塔は13枚の正三角形、3枚の正方形、3枚の正五角形、そして1枚の正六角形からなる二十面体で、ジョンソンの立体である^[2]。またこの立体はジョンソンの立体最後の図形${\displaystyle J_{92}}$である^[3]。さらにこの立体はelementary polyhedron（英語版）である。つまりこの立体は一つの平面によって二つのより小さな正多角形のみからなる多面体に分けることができない^[4]

一辺の長さを${\displaystyle a}$とすると三角広底球形屋根丸塔の表面積${\displaystyle A}$と体積${\displaystyle V}$は以下のように表せる:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(3+{\frac {1}{4}}{\sqrt {1308+90{\sqrt {5}}+114{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}}}\right)a^{2}\approx 16.389a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 5.10875a^{3}\end{aligned}}}$

一辺の長さが${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$の三角広底球形屋根丸塔は直交座標系において以下のように表される4つの点と、これらをz軸を中心として${\displaystyle 120^{\circ },240^{\circ }}$回転させ、この操作で得られた計12個の点をyz平面に対して対称な位置に写し、重複した点を取り除いて得られた18個の頂点を適切に結ぶことで得られる。:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(0,-{\frac {2}{\phi {\sqrt {3}}}},{\frac {2\phi }{\sqrt {3}}}\right),&\left(\phi ,{\frac {1}{{\sqrt {3}}\phi ^{2}}},{\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\\\left(\phi ,-{\frac {\phi }{\sqrt {3}}},{\frac {2}{{\sqrt {3}}\phi }}\right),&\left({\frac {2}{\phi }},0,0\right)\end{aligned}}}$

ここで${\displaystyle \phi }$は黄金比である^[5]。