二分法

ここでは、${\displaystyle f(x)=0}$となる${\displaystyle x}$を求める方法について説明する。

1. ${\displaystyle f(x_{1})}$と${\displaystyle f(x_{2})}$とで符号が異なるような区間下限${\displaystyle x_{1}}$と区間上限${\displaystyle x_{2}}$を定める。
2. ${\displaystyle x_{1}}$と${\displaystyle x_{2}}$の中間点${\displaystyle x_{M}}$を求める。
3. ${\displaystyle f(x_{M})}$の符号が${\displaystyle f(x_{1})}$と同じであれば${\displaystyle x_{1}}$を${\displaystyle x_{M}}$で置き換え、${\displaystyle f(x_{2})}$と同じであれば${\displaystyle x_{2}}$を${\displaystyle x_{M}}$で置き換える。
4. 2.に戻って操作を繰り返すことにより、${\displaystyle f(x)=0}$となる${\displaystyle x}$に近づく。

${\displaystyle x}$は${\displaystyle x_{1}}$と${\displaystyle x_{2}}$の間に存在するので、${\displaystyle x_{1}}$と${\displaystyle x_{2}}$の間隔を繰り返し1/2に狭めていき、${\displaystyle x_{M}}$を${\displaystyle x}$に近づけていくわけである。

方程式が連続であり、なおかつ関数値の符号が異なる初期条件を与えることができれば必ず収束する。関数が単調増加あるいは単調減少であれば、区間上限を十分に大きく、区間下限を十分に小さくすることで適切な初期条件となる。また、繰り返しの回数によってあらかじめ解の精度を次式で予測することができる。

${\displaystyle {\frac {x_{2}-x_{1}}{2^{n}}}}$

一方、ニュートン法などと比較して収束は遅い。