五次函数

五次関数（ごじかんすう、英: Quintic function）は、次数が5である多項式によって定義される関数である。

一般に、一変数の五次関数は次の形式で表される。

f(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f\quad (a\neq 0)

ここで、係数 $a,b,c,d,e,f$ は通常、実数または複素数の定数である。

五次関数は次数が奇数であるため、以下の性質を持つ。

無限遠での振る舞い: $x$ が正または負の無限大に向かうとき、関数の値も必ず正または負の無限大へ発散する。このため、グラフは必ず少なくとも1つ以上の実数解（x切片）を持つ。
形状: グラフは最大で4つの極値（極大値と極小値）を持ち、最大で3つの変曲点を持つ。外形は三次関数に似るが、より複雑な起伏を持つことが可能である。

五次方程式の解法

五次関数 $f(x)$ を 0 と置いたときに得られる五次方程式は、数学史上重要な意味を持つ。

アーベル–ルフィニの定理: 二次方程式、三次方程式、四次方程式とは異なり、一般的な五次方程式には、係数に対する四則演算と冪根（ルート）の組み合わせのみによる代数的な解の公式が存在しない。これは19世紀初頭にニールス・アーベルとパオロ・ルフィニによって証明された。
特殊関数による解法: 代数的な解の公式は存在しないが、楕円関数（テータ関数）や超幾何関数を用いることで、解を一般的に記述することが可能である。これはシャルル・エルミートやフェリックス・クラインらによって示された。

五次関数を微分すると、その導関数は四次関数となる。

f'(x)=5ax^{4}+4bx^{3}+3cx^{2}+2dx+e

この四次関数の零点を求めることで、元の五次関数の極値を特定できる。