五角錐球形屋根

この立体は、2枚の正三角形が正方形の向かい合う2辺に付けられた三日月のような図形2つを貼り合わせてできる図形2つと、この2つの図形の間を埋める12枚の正三角形からなる帯状の図形1つからなる^[1]。それゆえ五角錐球形屋根は正三角形20枚と正方形4枚からなる二十四面体で^[2]、ジョンソンの立体である^[3]。さらにこの立体はelementary polyhedron（英語版）である。つまりこの立体は一つの平面によって二つのより小さな正多角形のみからなる多面体に分けることができない^[4]

一辺の長さを${\displaystyle a}$とすると五角錐球形屋根の表面積は${\displaystyle (4+5{\sqrt {3}})a^{2}\approx 12.6603a^{2}}$と表される。また体積は約${\displaystyle 3.7776a^{3}}$である^[2]。

${\displaystyle a\approx 0.76713}$を以下の方程式の2番目に小さな正の解とする: $${\displaystyle {\begin{aligned}&256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^{9}+1552x^{8}-6592x^{7}\\&\quad {}+1248x^{6}+4352x^{5}-2024x^{4}-944x^{3}+672x^{2}-24x-23\end{aligned}}}$$ そして${\displaystyle h={\sqrt {2+8a-8a^{2}}}\quad c={\sqrt {1-a^{2}}}}$とする。そして、一辺の長さが2の五角錐球形屋根は直交座標系において以下のように表される3点と、これらをxz平面、yz平面に対称な位置に写して得られた5点、さらにこれら計8点のx座標とy座標を入れ替えてxy平面に対称な位置に写して得られた8点の計16点を適切に結ぶことで得られる^[5]。 $${\displaystyle \left(1,2a,{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1,0,2c+{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1+{\frac {\sqrt {3-4a^{2}}}{c}},0,2c-{\frac {1}{c}}+{\frac {h}{2}}\right)}$$