交代級数判定法

非負数列 (a_n) が単調減少かつ 0 に収束するならば、交代級数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$

は収束する。

なお有限項の和は級数の収束性に影響しないので、単調性の仮定はある自然数より大きな任意の自然数で成り立っていれば十分である。

部分和 s_n に対し s_2n+1 = s_2n − a_2n+1 ≤ s_2n である。そこで区間列 I_n = [s_2n+1, s_2n] を考えると

${\displaystyle s_{2n}-s_{2n+2}=a_{2n+1}-a_{2n+2}\geq 0,\;s_{2n+3}-s_{2n+1}=a_{2n+2}-a_{2n+3}\geq 0}$

より、I_n ⊃ I_n+1 である。また |I_n| = a_2n+1 は n → ∞ で 0 に収束するから、区間縮小法により (s_2n), (s_2n+1) はある共通の実数に収束する^[1]。

次の交代級数は本判定法で収束が確かめられる例である。

交代調和級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\log 2}$

ライプニッツ級数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

その他

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\log {\biggl (}1+{\frac {1}{n}}{\biggr )}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}(\log(n+1)-\log n)=\log {\biggl (}{\frac {\pi }{2}}{\biggr )}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\log n}{n}}={\frac {\log 2}{2}}-{\frac {\log 3}{3}}+{\frac {\log 4}{4}}-{\frac {\log 5}{5}}+\cdots =\gamma \log 2-{\frac {1}{2}}(\log 2)^{2}}$

（γ: オイラー定数）

(a_n) が単調減少でなくても、交代級数が収束することはある。たとえば偶数項 a_2n が (1/2)ⁿ、奇数項 a_2n+1 が (1/3)ⁿ⁺¹ の交代級数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{4}}-\cdots }$

は 3/2 に収束するが、常に a_2n+1 < a_2n+2 である。