ライプニッツの公式

冪級数展開を用いる証明

三角関数の一つ tan θ を θ について微分すると

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\tan \theta =1+\tan ^{2}\theta }$

となる。ここで tan θ = x とおくと

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=1+x^{2},\quad {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{1+x^{2}}}\quad \cdots (1)}$

が導かれる。

また以下の等比級数を考える。

${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-\cdots ={\frac {1}{1+x^{2}}}\qquad (|x|<1)\quad \cdots (2)}$

左辺は公比が −x² であり、|−x²| < 1 すなわち |x| < 1 のとき 1/(1 + x²) に収束する。(1), (2)式から

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-\cdots \qquad (|x|<1)}$

が得られる。この両辺を x について項別積分すれば

${\displaystyle \theta =x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+{\frac {x^{9}}{9}}-\cdots \qquad (|x|<1)\quad \cdots (3)}$

となる（この時、左辺をarctan xと表すとグレゴリー級数のかたちとなる）。（x = 0のとき θ = 0 であるから定数項は 0 である。）tan θ = x としたので θ = π/4 のとき x = 1 である。これを利用して(3)式に θ = π/4 と x = 1 を代入すると

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots }$

という式が現れる。ただし x = 1 は |x| < 1 の条件に反するので(3)式に x = 1 を代入できるかどうかが問題になるが、この場合は代入してもよいことが分かっている（アーベルの連続性定理）。

フーリエ級数を用いた証明

方形波をフーリエ級数で表す証明法もある。方形波 f(x) を

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&\quad -\pi \leq x<0\\1&\quad 0\leq x<\pi \end{cases}}}$

と定義する（これは区分的に滑らかな関数で [−π, π) 上可積分である）と、フーリエ係数 a_n はこの方形波が奇関数なので 0 であり、b_n は以下の式で表す。

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\,dx\\&={\frac {1}{\pi }}\left\{\int _{-\pi }^{0}(-1)\sin nx\,dx+\int _{0}^{\pi }1\cdot \sin nx\,dx\right\}\\\end{aligned}}}$

これを計算すると以下のようになる。

${\displaystyle b_{n}={\begin{cases}{\dfrac {4}{n\pi }}&\quad n=2k+1\quad (k\in \mathbb {N} )\\0&\quad n=2k\\\end{cases}}}$

したがって方形波のフーリエ級数は

${\displaystyle f(x)={\frac {4}{\pi }}\left(\sin x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+{\frac {1}{5}}\sin 5x+\dotsb \right)}$

となり、f(x) は x = π/2 において連続であるから、両辺に x = π/2 を代入すると

${\displaystyle 1={\frac {4}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\dotsb \right)}$

であるのでライプニッツの公式が得られる。