運動の積分

${\displaystyle N}$次元空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$における常微分方程式

${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=F_{i}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\ \ (i=1,2,\cdots ,N)}$

について考える。この方程式の第一積分とは、${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ 上の関数 ${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})}$ であり、方程式の解軌道 ${\displaystyle x_{i}(t)}$ に沿って一定値を取るようなもののことを言う^[4]。

${\displaystyle \Phi (x_{1}(t),x_{2}(t),\cdots ,x_{N}(t))=\mathrm {Const.} }$

常微分方程式系のひとつの第一積分 ${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})}$ が見出されたならば、それを初期値 (${\displaystyle a}$ とおく) と等値した方程式

${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})=a}$

をひとつの変数 (例えば ${\displaystyle x_{N}}$) について解くことにより、${\displaystyle x_{N}}$ を他の変数を用いて表示することができる。このとき、もとの方程式系は

${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=F'_{i}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N-1};a)\ \ (i=1,2,\cdots ,N-1)}$

という ${\displaystyle N-1}$ 変数に関する常微分方程式へと帰着される。それ故に、${\displaystyle N-1}$ 個の第一積分が見出されたならば、もとの常微分方程式の一般解 ${\displaystyle x_{i}(t;a_{1},a_{2},\cdots ,a_{N-1})}$ を構成することができる（求積できる）^[5]。

ある種の第一積分 ${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})}$ は、その「等高線」${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})=a}$ が考えている領域を稠密に埋め尽くすことがある^[12]。この場合、その積分の値が指定されても、運動可能な領域の次元を引き下げることができないため、このような積分はリウヴィルの定理における可積分性の条件からは除外される^[13][14]。このような状況では状態空間内の任意の点の近傍を任意の等高線 ${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})=a'}$ が通過するため、この意味でこの種の第一積分は無限多価の積分と呼ばれる^[15]。一方、そうではない有限多価の積分（典型的には一価の積分）は孤立積分 (isolating integral) と呼ばれ、求積に用いることができる^[13]。