Summarize Timeline Top Qs Fact Check [ 6]
d
y
d
x
+
p
(
x
)
y
+
q
(
x
)
=
0.
{\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}+p(x)y+q(x)=0.}
一般解は，C を積分定数として，
y
=
exp
(
−
∫
p
(
x
)
d
x
)
[
C
−
∫
{
q
(
x
)
exp
(
∫
p
(
x
)
d
x
)
}
d
x
]
{\displaystyle y=\exp \left(-\int p(x)\,dx\right)\left[\,C-\int \left\{q(x)\exp \left(\int p(x)\,dx\right)\right\}dx\right]}
で与えられる。
[ 6]
d
y
d
x
=
f
(
y
x
)
.
{\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}=f\left({\frac {\,y\,}{x}}\right).}
この同次常微分方程式 dy/dx=f (y/x ) に対して，y=ux とおけば，同次常微分方程式が
d
u
d
x
=
f
(
u
)
−
u
x
{\displaystyle {\frac {\,du\,}{dx}}={\frac {\,f(u)-u\,}{x}}}
となり，変数分離形になる。この積分を計算すると，同次常微分方程式の一般解は，
x
=
C
exp
[
∫
d
u
f
(
u
)
−
u
]
,
(
u
=
y
x
)
{\displaystyle x=C\exp \left[\int {\frac {du}{\;f(u)-u\;}}\,\right],\;\;\;\;\;\left(u={\frac {\,y\,}{x}}\right)}
で与えられる。C は積分定数である。
[ 6]
d
y
d
x
+
p
(
x
)
y
+
q
(
x
)
y
n
=
0
,
(
n
≠
0
,
1
)
.
{\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}+p(x)y+q(x)y^{n}=0,\;\;\;\;\;(n\neq {}0,\;1).}
この式に対して，z = y 1 − n とおくと，
d
z
d
x
+
(
1
−
n
)
p
(
x
)
z
+
(
1
−
n
)
q
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\,dz\,}{dx}}+(1-n)p(x)z+(1-n)q(x)=0}
となり，z に関する1階線形常微分方程式に帰着する。
[ 7]
y
=
x
p
+
f
(
p
)
,
(
p
≡
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle y=xp+f(p),\;\;\;\;{\Bigl (}p\equiv {\frac {\,dy\,}{dx}}{\Bigr )}.}
一般解は y=Cx+f (C ) という直線族。
特異解はその直線族の包絡線であって，もとの方程式 y = xp + f (p ) と x + df (p )/ dp p を消去して得られる。
[ 7]
y
=
x
φ
(
p
)
+
ψ
(
p
)
,
(
p
≡
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle y=x\varphi (p)+\psi (p),\;\;\;\;{\Bigl (}p\equiv {\frac {\,dy\,}{dx}}{\Bigr )}.}
この式の両辺を x で微分すると，x , p に関する 1 階線形常微分方程式，
[
φ
(
p
)
−
p
]
d
x
d
p
+
d
φ
(
p
)
d
p
x
+
d
ψ
(
p
)
d
p
=
0
{\displaystyle [\varphi (p)-p]{\frac {\,dx\,}{dp}}+{\frac {\,d\varphi (p)\,}{dp}}x+{\frac {\,d\psi (p)\,}{dp}}=0}
となり，この解と，もとの方程式 y=x φ (p )+ψ (p ) から p を消去すれば一般解が得られる。または p を媒介変数と考えてもよい。なお，この方程式は、ダランベール（d'Alembert）の微分方程式とも呼ばれる。
[ 6]
d
y
d
x
+
a
y
2
=
b
x
m
.
{\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}+ay^{2}=bx^{m}.}
この常微分方程式は，m = − 2，m = 4k / 1 − 2k k は整数。
[ 6]
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
0.
{\displaystyle P(x,\;y)dx+Q(x,\;y)dy=0.}
上記の微分方程式において， P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 の左辺が完全微分式（完全微分形式）の場合，解ける条件は，
∂
P
∂
y
=
∂
Q
∂
x
{\displaystyle {\frac {\;\partial {P}\;}{\partial {y}}}={\frac {\;\partial {Q}\;}{\partial {x}}}}
である。一般解は，
∫
P
d
x
+
∫
(
Q
−
∂
∂
y
∫
P
d
x
)
d
y
=
C
{\displaystyle \int P\,dx+\int \left(Q-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int P\,dx\right)\,dy=C}
と表示できる。C は積分定数である。
![{\displaystyle y=\exp \left(-\int p(x)\,dx\right)\left[\,C-\int \left\{q(x)\exp \left(\int p(x)\,dx\right)\right\}dx\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2c31850ec121fd15cf378509fb167147fd0f58)
![{\displaystyle x=C\exp \left[\int {\frac {du}{\;f(u)-u\;}}\,\right],\;\;\;\;\;\left(u={\frac {\,y\,}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b246e176492adf98ca51b6fd16d42162302df9cb)
![{\displaystyle [\varphi (p)-p]{\frac {\,dx\,}{dp}}+{\frac {\,d\varphi (p)\,}{dp}}x+{\frac {\,d\psi (p)\,}{dp}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74215120cfec77b20484f3e91be2d7263dad2ed)
