六点円

この円の存在の証明は中学校までに習う幾何学の知識で可能である。

上の図で、∠AA'B=∠AB'B より A,B,A',B' は同一円周上にある。よって∠CBA=∠CB'A' なので△CBA∽△CB'A'。同様に△CA'B'∽△CA₃B₃。

△CA'H∽△CC₃C'と△CB'H∽△CC₂C' より、CA':CC₃=CH:CC'=CB':CC₂ よって△CA'B'∽△CC₃C₂。

△CA₃B₃∽△CC₃C₂ なので∠CA₃B₃=∠CC₃C₂ であり、A₃,B₃,C₃,C₂ の4点は同一円周上にある。同様に、A₂,B₂,B₃,C₃ の4点も同一円周上にある。

△CBA∽△C'B'A∽△C₂B₂A より、CB と C₂B₂ は平行である。

△CBA∽△CB'A'∽△CC₂C₃と△CBA∽△C'BA'∽△B₂BB₃ より ∠CC₃C₂=∠B₂B₃B=∠B₃B₂C₂ これより B₂,B₃,C₂,C₃ の4点も同一円周上にある。

以上により6点が同一円周上にあることが示された。

六点円の中心は、外心・ルモワーヌ点らと同一直線（ブロカール軸）上にある^[1]。クラーク・キンバーリングのEncyclopedia of Triangle Centersでは、X(389)として登録されており、3つの内角の大きさを α, β, γ とすると、三線座標は以下の式で与えられる^[2]。

${\displaystyle \cot \alpha (\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma )-\sin \alpha$ :\cot \beta (\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma )-\sin \beta :\cot \gamma (\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma )-\sin \gamma }

半径は、外接円の半径を Rとすると

${\displaystyle R_{T}=R{\sqrt {\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta \cos ^{2}\gamma }}}$

で表すことができる。