内測度

集合 X を固定する。X 上の内測度とは、X の冪集合 2^X 上定義された函数 $${\displaystyle \varphi \colon 2^{X}\to [0,\infty ]}$$ で以下の条件を満足するものを言う。

• 空集合は零集合: ${\textstyle \varphi (\emptyset )=0.}$
• 優加法的: 部分集合 A, B が交わらないならば ${\textstyle \varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B)}$ が成り立つ。
• 減少列に関する単調性: 集合列 {A_j} が任意の j に対して A_j ⊃ A_j+1 を満たし、かつ φ(A₁) < ∞ であるならば、$${\displaystyle \varphi {\Big (}\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Bigr )}=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})}$$ が成立する。
• 測度無限大への到達可能性: φ(A) = ∞ となる A が存在するならば、任意の正の数 c に対して、A の部分集合 B が存在して ${\textstyle c\leq \varphi (B)<\infty }$ とできる。

集合 X 上の完全加法族 Σ と Σ 上の測度 μ に対し、μ が誘導する内測度 μ_∗ は $${\displaystyle \mu _{*}(T):=\sup\{\mu (S):S\in \Sigma \land S\subseteq T\}}$$ で定義される。

本質的に μ_∗ は、集合をその Σ-可測部分集合の μ-測度で測ることで保証できる、各集合の大きさの下限を与えるものである。この集合函数 μ_∗ は測度にならない場合がふつうであるけれども、以下のような性質は測度と共通している:

1. μ_∗(∅) = 0;
2. μ_∗ は非負である;
3. E ⊆ F ならば μ_∗(E) ≤ μ_∗(F).