制限 (数学)

f: E → F は集合 E から集合 F への写像を表すものとする。つまり、f の定義域は E (dom f = E) である。E の部分集合 A に対し、写像 f の A への制限とは

${\displaystyle {f|}_{A}\colon A\to F;\;x\mapsto f(x)}$

なる写像を言う^[1]。大雑把に言えば f の A への制限は、もともとの f と同じだが A ∩ dom f の上でのみ定義されているというような写像である。

写像 f をデカルト積 E × F 上の関係 {x, f(x))} として考えれば、f の A への制限はグラフとして

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f)\mid x\in A\}}$

で表すことができる。

1. 非単射関数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;x\mapsto x^{2}}$ の ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ への制限は、単射 ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto x^{2}}$ である。
2. 階乗函数はガンマ函数の自然数の集合 N への制限である。

• 写像 f: X → Y の定義域全体 X への制限 f|_X = f はもとの函数自身である。
• 写像の制限をさらに小さな集合へ制限したものは、もとの写像を直接小さな集合へ制限することと同じである。すなわち、A ⊆ B ⊆ dom f ならば (f|_B)|_A = f|_A が成り立つ。
• 集合 X 上の恒等写像の、部分集合 A への制限は A から X の中への包含写像である^[2]
• 連続写像の制限は連続である^[3][4]

より一般に、E と F の間のある二項関係 R の制限（あるいは定義域制限または左制限）A ◁ R は、定義域が A、値域が F でグラフが G(A ◁ R) = {(x, y) ∈ G(R) | x ∈ A}  であるような二項関係として定義できる。同様に、右制限あるいは値域制限 R ▷ B を定義することが出来る。実際には、二項関係が E × F 部分集合であるのと同様に、関係とは部分集合のことであると理解することで、n 項関係の制限も定義することが出来る。これらのケースは層のスキームには適合しない。^[要説明]

定義域 E, 終域 F の二項関係 R の、集合 A による定義域反制限 (domain anti-restriction) あるいは定義域減算 (domain subtraction) は、(E ∖ A) ◁ R と定義される。これは、A のすべての元を定義域 E から除くものである。しばしば A ⩤ R とも書かれる^[5]。同様に、二項関係 R の集合 B による値域反制限 (range anti-restriction) あるいは値域減算 (range subtraction) は、R ▷ (F ∖ B) で定義される。これは、B のすべての元を終域 F から除くものである。しばしば R ⩥ B と表記される。