累積分布関数

実数値確率変数 X の累積分布関数は以下で定義される^{[1]:p. 77}。この確率は下側確率 (lower-tail probability) とも呼ばれる。

${\displaystyle F_{X}(x):=\operatorname {P} (X\leq x)}$

X の a < b の時の半開区間 (a, b] の確率は以下になる^{[1]:p. 84}。

${\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$

連続型確率変数の累積分布関数は確率密度関数が存在する場合は以下になる^{[1]:p. 86}。

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt}$

累積分布関数は広義単調増加関数であり^{[1]:p. 78}、右連続関数である^{[1]:p. 79}。さらに以下が成立する。

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1.}$

離散型確率変数 X では以下が成立する。

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i}).}$

連続型確率変数 X では以下が成立する。

${\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)=\operatorname {P} (a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx}$