指数分布

期待値・分散

定義より、期待値 E(x) および分散 V(x) はそれぞれ以下のようになる^[4]。

${\displaystyle E(x)={\frac {1}{\lambda }}=\theta ,\ \ \ V(x)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}=\theta ^{2}}$

他の分布との関係

形状母数（英語版）が 1 であるガンマ分布は指数分布である。

独立で同一の指数分布に従う確率変数の和はアーラン分布に従う。アーラン分布の形状母数を 1 とすると指数分布に自明に一致する。

また、自由度2のカイ二乗分布は θ = 2 の指数分布と一致する。ワイブル分布における係数 m = 1 とおいた特殊な場合でもある。

無記憶性

指数分布は、幾何分布と同様に無記憶性 (memoryless) と呼ばれる性質を持つ。これは、確率変数 X が

${\displaystyle \forall s,t>0,\ \ P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)}$

なる等式を満たすことをいう。すなわち、時刻 s までに事象が生起しなかったという情報が与えられたとき、その事象がさらに t 時間の間生起しない条件付き確率は、（時刻 s まで事象が生起しなかったという情報が完全に忘れ去られ、改めてその時点から観測を始めて）t 時間の間事象が生起しない確率に一致するという意味である。

上述した累積分布関数の定義より、指数分布に従う確率変数がこの性質を満たすことは容易に示される^[5]。逆に、この性質を満たす連続確率分布が指数分布のみであることも証明されている^[6]。

ランダムに発生する事象の発生間隔の分布

下記にその例を示す。

• コールセンターへの電話の着信間隔
• 放射性物質の崩壊間隔
• 機械の故障間隔
• 銀行窓口の来客間隔

発生間隔の分布ではない指数分布に近似する現象

何らかの数量がその担体の間で絶え間なく交換されると最大エントロピー原理によって指数分布が出現すると説明される^[1]。

• ボルツマン分布（気体分子が取り得るエネルギー分布） 。
• 測高公式（高度が上がると気圧は指数関数的に減少する）。
• 富の交換のモデル（英語版）。
• 抑うつの分布モデル^[7]。日米欧の大規模疫学調査のデータにおいて一般社会の抑うつ評価尺度のスコアが指数分布に近似することが確認された^[8][9]。

最尤推定

λの最尤推定は、以下の尤度を最大化するλとして与えられる:

${\displaystyle L(\{x\}|\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\exp(-n\lambda {\bar {x}})}$

したがって、λの最尤推定として

${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{\mathrm {mle} }={\frac {1}{\bar {x}}}}$

が得られる。ただし、これは不偏推定量ではない。実際、${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{\mathrm {mle} }}$の期待値は${\displaystyle n>1}$の場合に

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\hat {\lambda }}_{\mathrm {mle} }\right]={\frac {n}{n-1}}\lambda }$

と計算され、${\displaystyle \lambda }$に一致しない。一方、${\displaystyle {\bar {x}}}$は${\displaystyle \theta }$の最尤推定量^[10]かつ不偏推定量^[11] である。

フィッシャー情報量

フィッシャー情報量は

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\left\langle \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\ln \left(f(x;\lambda )\right)\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

と計算される。

共役分布を用いたベイズ推定

${\displaystyle X}$が指数分布に従うモデルで${\displaystyle \lambda }$を推定する場合、${\displaystyle \lambda }$の事前分布としてガンマ分布を利用すると、これは共役事前分布（英語版）となる。すなわち、${\displaystyle \lambda }$の事後分布もガンマ分布となる。

実際、事前分布を

${\displaystyle p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda$ ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\beta \lambda )}

としておくと、事後分布は

${\displaystyle p(\lambda |\{x\})\propto p(\lambda )L(\{x\}|\lambda )\propto \left(\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\beta \lambda )\right)\left(\lambda ^{n}\exp(-n\lambda {\bar {x}})\right)}$

を満たすため、

${\displaystyle p(\lambda |\{x\})=\operatorname {Gamma} (\lambda$ ;\alpha +n,\beta +n{\bar {x}})}

がわかる。この場合、ハイパーパラメータはそれぞれ${\displaystyle \alpha }$が事前の観測数、${\displaystyle \beta }$が事前の観測値の和として解釈される。