分率座標

分率座標からオングストローム (Å) 単位の直交座標へ戻すには、以下に示す演算行列を分率座標に掛ける^[2][3]。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\cos \gamma &c\cos(\beta )\\0&b\sin \gamma &c(\cos \alpha -\cos \beta \cos \gamma )/\sin \gamma \\0&0&cv/\sin \gamma \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\text{frac}}\\y_{\text{frac}}\\z_{\text{frac}}\\\end{bmatrix}}}$

ここで、a, b, c, α, β, γ は単位格子パラメータである。また vは以下のように定義される単位平行六面体の体積である。

${\displaystyle v={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}}$

α=γ=90°、β>90°である単斜格子の特別な場合では、

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ax_{\text{frac}}+cz_{\text{frac}}\cos \beta \\y&=by_{\text{frac}}\\z&=cvz_{\text{frac}}=cz_{\text{frac}}\sin \beta \end{aligned}}}$

となる。

Summarize Fact Check

デカルト座標から分率座標へは以下のように変換できる^[4]。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{\text{frac}}\\y_{\text{frac}}\\z_{\text{frac}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1/a&-\cos \gamma /a\sin \gamma &(\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta )/av\sin \gamma \\0&1/b\sin \gamma &(\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha )/bv\sin \gamma \\0&0&\sin \gamma /cv\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}}$