加法単位元

初等数学における加法単位元の例は数の 0 である。たとえば

5 + 0 = 5 = 0 + 5

が成り立つ。（0 を含む）自然数全体の成す集合 N やそれを包含する任意の集合（たとえば整数全体の成す集合 Z や有理数全体の成す集合 Q あるいは実数全体の成す集合 R および複素数全体の成す集合 C など）で、加法単位元は数 0 である。つまり、これらのいずれの種類の数 n に対しても

n + 0 = n = 0 + n

が成立する。N,Z,Q,R,C の加法については 0 のほかに加法単位元は存在しない。一般に単位元はただ一つだけ存在する。

N を "+" で表される加法的演算のもとで閉じた集合とする。N における加法単位元とは、N の任意の元 n に対し、

e + n = n = n + e

を満たす N の元 e のことをいう。

• 加法的に書かれた群における加法単位元は、群の中立元（通常の意味での単位元）である。群の加法単位元は必ずただひとつ存在（後述）し、しばしば 0 で表される。
• 任意の環や体はその加法演算に関して加法群と呼ばれる群を成し、したがってただひとつの加法単位元 0 を持つ。考えている環（や体）がただひとつの元からなるのではない限り、加法単位元 0 は乗法単位元 1 とは異なる（後述）。
• 環 R 上の m-行 n-列行列の全体は、成分ごとの和に関して加法群を成す。その加法単位元を O で表せば、O は全ての成分が R の加法単位元 0 となるような m-行 n-列零行列である。たとえば、整数係数の 2-次正方行列の成す環 M₂(Z) の加法単位元は
  ${\displaystyle O={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
  で与えられる。
• 四元数体においても（実数などと同じ）数 0 が加法単位元である。
• R から R への（つまり実変数実数値の）函数全体の成す環 R^R において、加法単位元は全ての実数を 0 に写す函数（零写像）
  0(x) ≡ 0
  である。
• Rⁿ のベクトル全体の成す加法群の加法単位元は、原点（に対応する零ベクトル）である。

群の加法単位元の一意性

(G, +) が群で、0, 0′ がともに G の加法単位元とすれば、g, h を G の任意の元として

0 + g = g + 0 = g かつ 0′ + h = h + 0′ = h

が満たされるから、g = 0′, h = 0 とすれば

0 + 0′ = 0′ + 0 = 0′ かつ 0′ + 0 = 0 + 0′ = 0

すなわち 0 = 0′ を得る。

加法単位元の零化作用

乗法が加法に対して分配的であるような代数系 S では、加法単位元 0 は任意の元を零化する、つまり

S の任意の元 s に対して s • 0 = 0 となる

という意味で乗法吸収元（零元）である。これは

s • 0 = s •(0 + 0) = s • 0 + s • 0

の両辺から s • 0 を簡約することにより得られる。

零環と加法および乗法の単位元

R を加法単位元 0 と乗法単位元 1 を持つ環とする。これら二つの単位元が等しい (0 = 1) とすると、R の任意の元 r に対し r = r × 1 = r × 0 = 0 となるから R は自明な零環 {0} となる。対偶をとれば、R が零環でなければ 0 と 1 は必ず異なる。

• 0
• 加法逆元
• 中立元
• 乗法単位元

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.

• uniqueness of additive identity in a ring - PlanetMath.（英語）
• Margherita Barile. “Additive Identity”. mathworld.wolfram.com (英語).