加群の根基 From Wikipedia, the free encyclopedia 数学において、加群の理論において、加群の根基 (radical) は構造と分類の理論の構成物である。それは環のジャコブソン根基の一般化である。いろいろな意味でそれは M の半単純成分 soc(M) の概念の双対概念である。 R を環とし M を左 R-加群とする。M の部分加群 N は商 M/N が単純加群であるときに極大 (maximal) あるいは cosimple と呼ばれる。加群 M の根基 (radical) は M のすべての極大部分加群の共通部分である r a d ( M ) = ⋂ { N ∣ N is a maximal submodule of M } {\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\bigcap \{N\mid N{\mbox{ is a maximal submodule of M}}\}\,} 同じことだが、 r a d ( M ) = ∑ { S ∣ S is a superfluous submodule of M } {\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\sum \{S\mid S{\mbox{ is a superfluous submodule of M}}\}\,} これらの定義は soc(M) に対して直接的な双対の類似をもつ。 性質 rad(M) は余剰部分加群全体の和であるという事実に加えて、ネーター加群において rad(M) それ自身が余剰部分加群である。 すべての右 R-加群 M に対して rad(M) ={0} であるような環を右 V-環 (right V-ring) と呼ぶ。 任意の加群 M に対して、rad(M/rad(M)) は 0 である。 M が有限生成加群であることと M/rad(M) が有限生成かつ rad(M) が M の余剰部分加群であることは同値である。 関連項目 半単純成分 ジャコブソン根基 参考文献 Alperin, J.L.; Rowen B. Bell (1995). Groups and representations. Springer-Verlag. pp. 136. ISBN 0-387-94526-1 Anderson, Frank Wylie; Kent R. Fuller (1992). Rings and Categories of Modules. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97845-1 この項目は、抽象代数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。表示編集 Related Articles
