半局所環

数学において、半局所環 (semi-local ring) は R/J(R) が半単純環であるような環 R である。ここで J(R) は環 R のジャコブソン根基である^[1]^[2]。

この条件は R の極大右（左）イデアルが有限個であれば満たされる^[3]。さらに環 R が可換のときには逆も成り立つため^[3]、可換環に対して半局所環はしばしば「極大イデアルが有限個である環」と定義される。

いくつかの文献では一般の可換半局所環を擬半局所環 (quasi-semi-local ring) と呼び、極大イデアルが有限個のネーター環を半局所環と呼んでいる。

したがって半局所環は、極大（右／左／両側）イデアルをただひとつだけもつ局所環よりも一般的である。

任意の右あるいは左アルティン環、任意の serial ring（英語版）, 任意の半完全環は半局所環である。
剰余環 $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ は半局所環である。とくに、 $m$ が素冪であれば、 $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ は局所環である。
有限個の体の直和 $\bigoplus _{i=1}^{n}{F_{i}}$ は半局所環である。
単位元を持つ可換環の場合には、この例は次のような意味でプロトタイプである。すなわち、中国の剰余定理によって、極大イデアルが m₁, ..., m_n である単位的可換半局所環 R に対し、

R/\bigcap _{i=1}^{n}m_{i}\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/m_{i}\,

である。（写像は自然な射影）。右辺は体の直和である。ここで ∩_i m_i = J(R) であることに注意すると、R/J(R) は実際半局所環であることがわかる。

任意の可換ネーター環に対するclassical ring of quotients（英語版）は半局所環である。
アルティン加群の自己準同型環は半局所環である。
半局所環は例えば代数幾何学において（可換）環 R が積閉集合 $S=\bigcap (R\setminus p_{i}),$ ただし p_i たちは有限個の素イデアル、によって局所化されるときに生じる。

脚注