半楕円型作用素

n-次元ユークリッド空間 Rⁿ のある開集合 Ω 上で定義される二階の偏微分作用素 P で、適当な函数 f に対し

${\displaystyle Pf(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+c(x)f(x),}$

で定められるものが半楕円型であるとは、行列 a(x) = (a_ij(x)) のすべての固有値 λ_i(x), 1 ≤ i ≤ n が非負であることを言う。対照的に、λ_i(x) > 0 がすべての x ∈ Ω と 1 ≤ i ≤ n に対して成り立つなら P は楕円型と呼ばれ、そのような各固有値が i と x について一様に 0 から離れて一様有界であるなら、一様楕円型と呼ばれる。また同値であるが、P が半楕円型であるとは行列 a(x) が各 x ∈ Ω に対して正定値であることを言う。

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth edition ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1  (See Section 9)