双曲四元数

双曲四元数 q は、 $${\displaystyle q=a+bi+cj+dk\qquad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$ で表され、積は $${\displaystyle i^{2}=j^{2}=+1,\qquad ij=k,\qquad ji=-k}$$ により定義される。

これにより $${\displaystyle k^{2}=(ij)(ij)=i(ji)j=i(-k)j=-i(k)j=-(ik)j=-(-j)j=j^{2}=-1}$$ が従う。

分裂四元数 ℍ' を、基底 {1, e₁, e₂, e₁e₂} と $${\displaystyle e_{1}^{2}=+1,\qquad e_{2}^{2}=+1,\qquad e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}$$ で定義する。

写像 $${\displaystyle \phi \colon \mathbb {H} '\to \mathbb {R} \langle 1,i,j,k\rangle }$$ を $${\displaystyle \phi (1)=1,\quad \phi (e_{1})=i,\quad \phi (e_{2})=j,\quad \phi (e_{1}e_{2})=k}$$ と定めると、積の保存 $${\displaystyle \phi (xy)=\phi (x)\phi (y)}$$ が成立し、φ は同型写像である。

分裂四元数 ℍ' は、以下と同型であることが知られている： $${\displaystyle \mathbb {H} '\cong Cl(1,1)\cong M_{2}(\mathbb {R} )}$$

• Cl(1,1) は 1 個の負平方元、1 個の正平方元を持つクリフォード代数
• M₂(ℝ) は 2×2 実行列全体

双曲四元数は、この連鎖の中に自然に位置づけられる。

対応 $${\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad k\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$$ は、双曲四元数と M₂(ℝ) の同型を与える^[2]。

共役 $${\displaystyle q^{\ast }=a-bi-cj-dk}$$ に対し、ノルム $${\displaystyle N(q)=qq^{\ast }=a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}$$ を得る。

符号が (+, −, −, +) の「分裂型」計量であり、 N(q) ≠ 0 のときに限り逆元が存在する。

以下では、双曲四元数 ℍ"Hと分裂四元数 ℍ' の同型

$${\displaystyle \phi$$ :\mathbb {H} '\to \mathbb {H} ''{H}}

が「代数として」同型であることを、基底同型と積構造保存の ε–δ 形式に近い厳密さで示す。

2×2 実行列代数 M₂(ℝ) はクリフォード代数 $${\displaystyle Cl(1,1)}$$ の既約表現である。

写像 $${\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$$ はクリフォード生成子 $${\displaystyle e_{1}^{2}=+1,\quad e_{2}^{2}=+1,\quad e_{1}e_{2}+e_{2}e_{1}=0}$$ を満たすため、 $${\displaystyle i=\rho (e_{1}),\quad j=\rho (e_{2})}$$ と一致する。

• 四元数
• 幾何学的代数