双極定理

ある線型空間 ${\displaystyle X}$ 内の任意の空でない集合 ${\displaystyle C\subset X}$ に対し、双極錐 ${\displaystyle C^{oo}=(C^{o})^{o}}$ は次で与えられる。

${\displaystyle C^{oo}=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{\lambda c:\lambda \geq 0,c\in C\})}$

ここで ${\displaystyle \operatorname {co} }$ は凸包を表す^[1]:54[2]。

${\displaystyle C\subset X}$ が空でない閉凸錐であるための必要十分条件は、${\displaystyle C^{++}=(C^{+})^{+}}$ であるときに ${\displaystyle C^{++}=C^{oo}=C}$ であることである。ここで ${\displaystyle (\cdot )^{+}}$ は正の双対錐を表す^[2][3]。

あるいはより一般に、${\displaystyle C}$ が凸錐であるなら双極錐は次で与えられる。

${\displaystyle C^{oo}=\operatorname {cl} C.}$

${\displaystyle f(x)=\delta (x|C)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in C\\+\infty &{\text{else}}\end{cases}}}$ はある錐 ${\displaystyle C}$ に対する指示函数とする。このとき、凸共役 ${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\delta (x^{*}|C^{o})=\delta ^{*}(x^{*}|C)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle }$ は ${\displaystyle C}$ に対する支持函数（英語版）であり、${\displaystyle f^{**}(x)=\delta (x|C^{oo})}$ である。したがって、${\displaystyle C=C^{oo}}$ であるための必要十分条件は、${\displaystyle f=f^{**}}$ である^[1]:54[3]。