反発係数

物体1と物体2が衝突し速度がそれぞれv₁ からv₁' 、v₂ からv₂' に変わったとすると、反発係数e は

${\displaystyle e={\frac {|v'_{1}-v'_{2}|}{|v_{1}-v_{2}|}}=-{\frac {v'_{1}-v'_{2}}{v_{1}-v_{2}}}}$

で定義される。

e =1の衝突を弾性衝突 (次項参照)、0≦e <1の衝突を非弾性衝突といい、特にe =0の衝突を完全非弾性衝突という。

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反発係数が1となる衝突を（完全）弾性衝突という。弾性衝突では、運動量だけでなく運動エネルギーも保存している。

衝突で運動量と運動エネルギーの両方が保存するとき、反発係数が1になることは、以下のように示せる。

運動エネルギー保存の式として、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}{v_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{v_{2}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}{v'_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{v'_{2}}^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {1}{2}}m_{1}({v_{1}}^{2}-{v'_{1}}^{2})={\frac {1}{2}}m_{2}({v'_{2}}^{2}-{v_{2}}^{2})}$

${\displaystyle \Leftrightarrow m_{1}(v_{1}+v'_{1})(v_{1}-v'_{1})=m_{2}(v'_{2}+v_{2})(v'_{2}-v_{2})}$

運動量保存の式として、

${\displaystyle m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow m_{1}(v_{1}-v'_{1})=m_{2}(v'_{2}-v_{2})}$

ここで、衝突によってそれぞれの物体の速度が必ず変わると仮定すると、

${\displaystyle v_{1}-v'_{1}\neq 0}$

${\displaystyle v'_{2}-v_{2}\neq 0}$

よって、先程の２式を辺々割り算することができ、その結果として、

${\displaystyle v_{1}+v'_{1}=v'_{2}+v_{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow v_{1}-v_{2}=-(v'_{1}-v'_{2})}$

これは衝突の前後で相対速度が同じ大きさで逆向きであることを示している。よって、

${\displaystyle e=-{\frac {v'_{1}-v'_{2}}{v_{1}-v_{2}}}=1}$

となる。導出過程の通り、このことは物体の質量によらず成り立つ。