可測関数

${\displaystyle (X,\Sigma ),\ (Y,\mathrm {T} )}$ をそれぞれ可測空間とする。逆像を用いて、関数 ${\displaystyle \textstyle f\colon X\to Y}$ が次の条件、

${\displaystyle \forall E\in \mathrm {T} ,\quad f^{-1}(E)\in \Sigma }$

を満たすとき、${\displaystyle \textstyle f}$ は可測関数である。このとき「${\displaystyle \textstyle f}$ は可測である（英: ${\displaystyle f}$ is measurable）」という。

これは、${\displaystyle f}$ によって生成される ${\displaystyle \sigma }$-代数 ${\displaystyle \sigma (f)}$ が ${\displaystyle \Sigma }$ の部分集合（${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma }$）であることと同値である。

${\displaystyle X,Y}$ がそれぞれσ-代数 ${\displaystyle \Sigma ,\mathrm {T} }$ を備えた集合であることを強調し、この可測関数を ${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )}$ と表記する場合がある。また「${\displaystyle \textstyle f}$ は ${\displaystyle (\Sigma ,\mathrm {T} )}$-可測である」という場合もある^[2]。

• 可測関数の合成は、可測である。すなわち、${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\rightarrow (Y,\Sigma _{2})}$ および ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\rightarrow (Z,\Sigma _{3})}$ が可測関数であるなら、${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\rightarrow (Z,\Sigma _{3})}$ も可測関数である^[1]。ただし、導入部でのルベーグ可測関数についての議論に注意されたい。

• ${\displaystyle Y}$ を距離空間とすると、各点収束する可測関数列 ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ の極限も可測である。この性質は、${\displaystyle Y}$ が距離空間でない一般の場合には正しいとは限らない（^[3] の 125 および 126 ページを参照）。ここで、連続関数について同様のことが成り立つためには、各点収束よりも強い一様収束などの条件が必要とされることに注意されたい。

応用の場面で現れる実数値関数は、可測関数であることが多い。しかしながら、非可測関数を見つけることは難しいことではない。

非可測関数の存在証明は、本質的な部分で選択公理に依存している。実際に、選択公理を除いた公理的集合論（ツェルメロ＝フレンケル集合論）だけでは、非可測関数の存在を証明することはできない。

• 距離空間に非可測集合が存在している限り、その空間上の非可測関数が存在する。

• 距離空間に非可測集合が存在している限り、その空間上の非可測関数が存在する。${\displaystyle (X,\Sigma )}$ を可測空間とし、${\displaystyle A\subset X}$ が非可測集合（英語版）、すなわち、${\displaystyle A\not \in \Sigma }$ であるなら、指示関数 ${\displaystyle 1_{A}:(X,\Sigma )\rightarrow \mathbb {R} }$ は、可測集合 ${\displaystyle \{1\}}$ の原像が非可測集合 ${\displaystyle A}$ であることから、非可測である。ここで、${\displaystyle \mathbb {R} }$ は通常どおりボレル代数を備えるものであり、${\displaystyle 1_{A}}$ は

${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$

によって与えられる。

• どのような非定数関数であっても、その定義域と値域に適切な ${\displaystyle \sigma }$-代数を備えることによって、非可測とすることが出来る。${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ を任意の非定数実数値関数としたとき、${\displaystyle X}$ に離散的でない代数 ${\displaystyle \Sigma =\{0,X\}}$ が備えられるのであれば、${\displaystyle f}$ は非可測である。なぜならば、その値域の任意の点の原像は ${\displaystyle X}$ の空でない真部分集合であり、したがって ${\displaystyle \Sigma }$ に含まれないからである。