命題関数

命題関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。

1. 真な命題を表す記号 ： ${\displaystyle \curlyvee }$
2. 偽な命題を表す記号 ： ${\displaystyle \curlywedge }$

L₀ を ${\displaystyle \curlyvee }$ と ${\displaystyle \curlywedge }$ とだけから成る集合とし、D を固定された空でない 1 つの集合とする。そのとき、n 個の D の直積 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}D}$ から L₀ への写像を n 変数の命題関数という。命題関数をまた述語、性質、条件ともいう。n 変数の命題関数をまた n 項関係ともいう。集合 D を議論領域といい、D の各元を対象という。

議論領域 D は自然数全体から成る集合に等しいとする。また、集合 L₀ において、真理関数 ￢、∨ が定義されているとする。

D から L₀ への写像 F を次の等式で定義すれば、F は 1 変数の命題関数となる。

${\displaystyle F(n)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}n{\mbox{ is prime}}\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

D×D から L₀ への写像 G を次の等式で定義すれば、G は 2 変数の命題関数となる。

${\displaystyle G(n,m)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}n{\mbox{ is less than }}m\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

2 項関係 R(n，m) をしばしば nRm と書く。従って、上の G(n，m) を nGm と書いても良い。

D×D の各元 (n，m) に対して L₀ の元 (￢G(n，m))∨G(n，m) を対応させれば、2 変数の 1 つの命題関数が得られる。