真理関数

真理関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。

1. 真な命題を表す記号 ： ${\displaystyle \curlyvee }$
2. 偽な命題を表す記号 ： ${\displaystyle \curlywedge }$

L を ${\displaystyle \curlyvee }$ と ${\displaystyle \curlywedge }$ とだけから成る集合とし、n を自然数とする。そのとき、n 個の L の直積 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}L}$ から L への写像を n 変数の真理関数という。

1 変数の真理関数 ￢ と 2 変数の真理関数 ∨、∧ とはそれぞれ以下の等式で定義される。ただし、A 、B は L の元の変数である。

${\displaystyle \lnot A={\begin{cases}\ \curlywedge &{\mbox{if }}A=\curlyvee \\\ \curlyvee &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle A\lor B={\begin{cases}\ \curlywedge &{\mbox{if }}A=B=\curlywedge \\\ \curlyvee &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle A\land B={\begin{cases}\ \curlyvee &{\mbox{if }}A=B=\curlyvee \\\ \curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

￢A 、A∨B 、A∧B をそれぞれ、A の否定、A と B との論理和、A と B との論理積という。n 変数の真理関数は全部で ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ 個ある。

真理関数の定義を真理値表という表を用いて示すことがある。

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￢ の真理値表

A	￢A
${\displaystyle \curlyvee }$	${\displaystyle \curlywedge }$
${\displaystyle \curlywedge }$	${\displaystyle \curlyvee }$

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∨ の真理値表

A	B	A∨B
${\displaystyle \curlyvee }$	${\displaystyle \curlyvee }$	${\displaystyle \curlyvee }$
${\displaystyle \curlyvee }$	${\displaystyle \curlywedge }$	${\displaystyle \curlyvee }$
${\displaystyle \curlywedge }$	${\displaystyle \curlyvee }$	${\displaystyle \curlyvee }$
${\displaystyle \curlywedge }$	${\displaystyle \curlywedge }$	${\displaystyle \curlywedge }$

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∧ の真理値表

A	B	A∧B
${\displaystyle \curlyvee }$	${\displaystyle \curlyvee }$	${\displaystyle \curlyvee }$
${\displaystyle \curlyvee }$	${\displaystyle \curlywedge }$	${\displaystyle \curlywedge }$
${\displaystyle \curlywedge }$	${\displaystyle \curlyvee }$	${\displaystyle \curlywedge }$
${\displaystyle \curlywedge }$	${\displaystyle \curlywedge }$	${\displaystyle \curlywedge }$

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真理値表は次のように見る。￢ の真理値表の第 1 行は 「 A = ${\displaystyle \curlyvee }$ であるとき、￢A = ${\displaystyle \curlywedge }$ である 」 を意味する。∨ の真理値表の第 2 行は 「 A = ${\displaystyle \curlyvee }$ 、B = ${\displaystyle \curlywedge }$ であるとき、A∨B = ${\displaystyle \curlyvee }$ である 」 を意味する。∧ の真理値表の第 3 行は 「 A = ${\displaystyle \curlywedge }$ 、B = ${\displaystyle \curlyvee }$ であるとき、A∧B = ${\displaystyle \curlywedge }$ である 」 を意味する。

F を n 変数の真理関数とするとき、F(X) = ${\displaystyle \curlyvee }$ を満たす ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}L}$ の元 X 全体から成る集合を F の真理集合といい、[F] で表わす。

例

${\displaystyle [\ \lnot \ ]=\{\ X\ |\ X\in L,\ \lnot X=\curlyvee \ \}=\{\ \curlywedge \ \}}$

${\displaystyle [\ \lor \ ]=\{\ (X_{1},X_{2})\ |\ (X_{1},X_{2})\in L\times L,\ X_{1}\lor X_{2}=\curlyvee \ \}=\{\ (\curlyvee ,\curlyvee ),(\curlyvee ,\curlywedge ),(\curlywedge ,\curlyvee )\ \}}$

${\displaystyle [\ \land \ ]=\{\ (X_{1},X_{2})\ |\ (X_{1},X_{2})\in L\times L,\ X_{1}\land X_{2}=\curlyvee \ \}=\{\ (\curlyvee ,\curlyvee )\ \}}$

2 つの真理関数 F と G とが等しいことは、F の真理集合と G の真理集合とが等しい為の必要十分条件である。

• 数学基礎論、数理論理学、命題論理、ブール代数
• 否定、論理和、論理積、同値、否定論理積、真理値表
• 無矛盾律、排中律、交換法則、結合法則、分配法則、吸収法則、ド・モルガンの法則
• 命題関数、選言標準形、連言標準形

• 前原昭二、復刊 数理論理学序説、共立出版株式会社、2010。