固有写像

証明

${\displaystyle f:X\to Y}$ を、すべての ${\displaystyle y\in Y}$ に対して ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ が（X において）コンパクトであるような連続閉写像とする。${\displaystyle K}$ を ${\displaystyle Y}$ のコンパクト部分集合とする。このとき ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ がコンパクトであることを示す。

${\displaystyle \{U_{\lambda }\vert \lambda \ \in \ \Lambda \}}$ を ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ の開被覆とする。するとすべての ${\displaystyle k\ \in K}$ に対して、これは ${\displaystyle f^{-1}(k)}$ の開被覆でもある。後者はコンパクトであると仮定されているので、有限の部分被覆を持つ。言い換えると、すべての ${\displaystyle k\ \in K}$ に対して、${\displaystyle f^{-1}(k)\subset \cup _{\lambda \in \gamma _{k}}U_{\lambda }}$ を満たすような有限の集合 ${\displaystyle \gamma _{k}\subset \Lambda }$ が存在する。集合 ${\displaystyle X\setminus \cup _{\lambda \in \gamma _{k}}U_{\lambda }}$ は閉である。f は閉写像であるため、その像は Y において閉である。したがって、集合 ${\displaystyle V_{k}=Y\setminus f(X\setminus \cup _{\lambda \in \gamma _{k}}U_{\lambda })}$ は Y において開である。${\displaystyle V_{k}}$ が点 ${\displaystyle k}$ を含むことを確かめることは容易である。今 ${\displaystyle K\subset \cup _{k\in K}V_{k}}$ であり、K はコンパクトと仮定されているため、${\displaystyle K\subset \cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}}$ であるような高々有限個の点 ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{s}}$ が存在する。さらに、集合 ${\displaystyle \Gamma =\cup _{i=1}^{s}\gamma _{k_{i}}}$ は有限集合の有限の合併であるため、${\displaystyle \Gamma }$ は有限である。

今 ${\displaystyle f^{-1}(K)\subset f^{-1}(\cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}})\subset \cup _{\lambda \in \Gamma }U_{\lambda }}$ が従い、${\displaystyle f^{-1}(K)}$ の有限部分被覆を見つけることが出来るため、証明は完成される。