土圧

1763年パリ条約でイギリスと講和をむすんだフランスは、その際、イギリスに占領されていたマルチニク島が返還され、その破壊された城と町とを再建しなければならなくなった。^[1]1764年に再建案がまとまり、一団の軍技術者達がブレスト港からマルチニク島に向けて出港した。^[1]その時１人の技術者が病気で倒れ、その代わりとしてクーロンが指名され、急遽赴任させられることになった。^[1]

このマルチニク島におけるフォート・デ・フランス（フランス語版）（後のFort Desaix）の築城工事は大工事であった。その上、疫病の流行により技術者達が次々と倒れたため、当時27才のクーロンが実質的な責任者として城を完成させなければならなかった。彼は後にこの工事について、以下のように述べている。^[1]

私は８年間、ほとんど唯一人で1200人もの人達を使いながら、フォート・ブルボン（後のFort Desaixのこと）の工事の責任者だった。この工事の最中に、しばしば仮定にもとづく計算や、小さなモデルによる実験をもとにした理論が、実際にはいかに不十分な指標にすぎないかということを経験させられた。そのため私は、技術者として事業に使えそうな、あらゆる分野の研究に、毎日毎日打ち込んでいた

1772年にマルチニク島から本国へ帰ったクーロンは、ブーシャン（英語版）で軍の勤務についた。^[1]この翌年の1773年、マルチニク島での研究をもとに、フランス本国へ帰ってきて最初に発表した論文が、有名な土圧論の論文、『建築学に関して、静力学問題における最大・最小原理の応用について（Essai Sur une application des règles de Maximis et Minimis à quelques Problèmes de Statique, relatifs à l'Architecture）』である。^[2]この論文は、最大・最小原理という統一的な観点から、さまざまな力学的問題を解いたものであり、「土圧論」もその一つの応用例であった。^[2]この最大・最小の原理については、ダニエル・ベルヌーイやレオンハルト・オイラーなどの後に変分法に発展する業績に影響を受けたものと思われる。^[3]後にサンブナン（英語版）が認めていたことであるが、クーロンの論文は豊富な内容が非常に簡潔な形で書かれていたため、そのほとんどが専門分野で見落とされていた。^[3]

現在、我々が一般にクーロンの土圧公式と呼んでいるのは、ミュラー・ブレスロー（英語版）が1906年に記したものである。^[4]

いわゆる「ランキンの土圧論」が書かれたのは、ランキンがグラスゴー大学に着任したその翌年で、さらにその翌年、1857年、王立学士院の紀要（Philosophical Transactions）に、『緩い土の安定について（On the Stability of Loose Earth）』という題で掲載された。^[5]このときランキンは37歳であり、これはクーロンが土圧論を発表したのと同じ年齢であった。^[6]

この論文の内容は、彼が大学に勤めるようになり、講義の準備の際に土木工事や石工工事の安定について数学的な理論を再検討しているときに考え出したと述べている。^[7]ランキンは父が顧問をしていたカレドニアン鉄道会社が進めていたいくつかの鉄道の建設に携わっていたことがあった^[5]が、このときに擁壁に作用する土圧に関わりを持ったと考えられる。^[7]

静止した状態にある水において、ある点における水圧はどの方向からも等しい大きさであり、水の単位体積重量にその点よりも上にある水の高さを乗ずることで得られる。土圧の場合、鉛直方向に関しては土の単位体積重量に深さを乗じた値が土圧となり、これは水と同様である。一方、水平方向は、土の単位体積重量に深さを乗じた値の0.4～0.7倍が土圧となる。土の状態によって水平土圧の値が変わり、それぞれ主働土圧、受働土圧、静止土圧と呼ばれる。

土圧の種類は3つあり、以下の通りである。

主働土圧

鉛直応力が卓越して土が破壊する時の水平土圧

受働土圧

水平応力が卓越して土が破壊する時の水平土圧

静止土圧

地盤内で静止している時の水平土圧

水平土圧と変位の関係は右図の通り。 また、地盤の状態はそれぞれ下図の通りである。それぞれ${\displaystyle K_{0}\,\!}$、${\displaystyle K_{a}\,\!}$、${\displaystyle K_{p}\,\!}$は静止土圧係数、主働土圧係数、受働土圧係数である。

主働土圧と受働土圧の計算方法は2つ存在し、それぞれランキン土圧、クーロン土圧と呼ばれる。かつてはテルツァギの土圧図表による土圧計算も多く用いられていたが、現在はほぼ用いられていない^[8][9]。

ランキン土圧を算出する時は下記のような仮定を用いている。

1. 擁壁は考えない。(擁壁の摩擦及び形状は考えない。)
2. 塑性平衡状態となる。モール・クーロンの破壊規準に従う。
3. 傾斜角を考慮しない。

主働土圧状態

モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。

${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{1}+\sigma _{3})\mathrm {sin} \phi \,\!}$

主働土圧の時、最大主応力は${\displaystyle \sigma _{v}\,\!}$、で最小主応力は${\displaystyle \sigma _{ha}\,\!}$、なので、上式に代入すると、以下の式を得る。

${\displaystyle \sigma _{v}-\sigma _{ha}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{v}+\sigma _{ha})\mathrm {sin} \phi \,\!}$

上式を${\displaystyle \sigma _{ha}\,\!}$について整理する。

${\displaystyle \sigma _{ha}=\sigma _{v}\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)-2\mathrm {ctan} \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}$

また、主働土圧係数${\displaystyle K_{a}\,\!}$を用いて上式を書く。

${\displaystyle \sigma _{ha}=\sigma _{v}K_{a}-2\mathrm {c} {\sqrt {K_{a}}}\,\!}$・・・・①

${\displaystyle K_{a}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}$

受働土圧状態

モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。

${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{1}+\sigma _{3})\mathrm {sin} \phi \,\!}$

受働土圧の時、最大主応力は${\displaystyle \sigma _{hp}\,\!}$、で最小主応力は${\displaystyle \sigma _{v}\,\!}$、なので、上式に代入すると、以下の式を得る。

${\displaystyle \sigma _{hp}-\sigma _{v}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{hp}+\sigma _{v})\mathrm {sin} \phi \,\!}$

上式を${\displaystyle \sigma _{hp}\,\!}$について整理する。

${\displaystyle \sigma _{hp}=\sigma _{v}\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)-2\mathrm {ctan} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}$

また、受働土圧係数${\displaystyle K_{p}\,\!}$を用いて上式を書く。

${\displaystyle \sigma _{hp}=\sigma _{v}K_{p}-2\mathrm {c} {\sqrt {K_{p}}}\,\!}$・・・・・②

${\displaystyle K_{p}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}$

クーロン土圧を算出する時は下記のような仮定を用いている。

1. 粘着力の無い砂質土を対象とする
2. 壁体の背後の土の中に直線状の滑り面が生じ、くさび状の土塊が滑り面に沿って動く

クーロン土圧はランキン土圧よりも適用範囲が広く、壁体との摩擦、壁体の傾斜、背後の地表面の傾斜も考慮している。

主働土圧状態

クーロンの主働土圧計算時の地盤の状態は下図の通りである。

右図を連力図という。土のくさびの重量${\displaystyle W\,\!}$は既知。３つ力のベクトルが閉じた 三角形になるように主働土圧の合力${\displaystyle P_{a}\,\!}$と滑り面に作用する力${\displaystyle F\,\!}$の大きさを決める。その時の${\displaystyle \theta \,\!}$が滑り面の角度となる。

(土と壁体の摩擦角${\displaystyle \delta \,\!}$と${\displaystyle \phi \,\!}$内部摩擦角は既知、${\displaystyle \alpha \,\!}$と${\displaystyle \beta \,\!}$は土や擁壁の形を決めるものなので既知)

連力図に着目すると、正弦定理より以下の関係式を得る。

${\displaystyle {\frac {W}{\mathrm {sin} (\alpha +\delta -\theta +\phi )}}={\frac {P_{a}}{\mathrm {sin} (\theta -\phi )}}\!}$

したがって、${\displaystyle P_{a}\,\!}$は以下の通り。

${\displaystyle P_{a}={\frac {W\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{\mathrm {sin} (\alpha +\delta -\theta +\phi )}}\!}$

${\displaystyle W\,\!}$は土の重さなので別途計算する必要がある。

つまり、土塊の体積${\displaystyle V\,\!}$を計算し、土の単位体積重量を乗ずればよい。

この時、土の体積は単位奥行きあたりの体積であるので、実質的には土くさびの面積${\displaystyle S\,\!}$を求めればよい。

右図より土くさびの面積は以下の通りとなる。

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}AB*AC\mathrm {sin} (\alpha -\theta )}$

また、正弦定理より以下の関係式を得る。

${\displaystyle {\frac {AB}{\mathrm {sin} (\theta -\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (\pi -\alpha +\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}}}$

辺${\displaystyle AB}$を壁体の高さ${\displaystyle H}$を用いて表す。

${\displaystyle AB={\frac {H}{\mathrm {sin} \alpha }}}$

以上より土くさびの面積は以下の通りである。

${\displaystyle S=V={\frac {H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}$

したがって、土の重さは以下のように得られる。

${\displaystyle W={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}$

つまり、クーロンの主働土圧は以下のように導かれる。

${\displaystyle P_{a}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} \theta -\beta )\mathrm {sin} (\alpha +\delta -\theta +\phi )}}}$

${\displaystyle \theta \,\!}$の最適解は極限定理の上界定理の考え方から${\displaystyle P_{a}\,\!}$を最大とする時の${\displaystyle \theta \,\!}$となる。

すなわち、以下の関係を満たす時の${\displaystyle \theta \,\!}$が最適解となり、その時の${\displaystyle P_{a}\,\!}$がクーロンの主働土圧となる。

${\displaystyle {\frac {\partial P_{a}}{\partial \theta }}=0}$

クーロンの主働土圧は以下の通りである。

${\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{a}H^{2}\,\!}$

${\displaystyle K_{a}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha +\delta )\left[1+{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi -\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha +\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}$

受働土圧状態

クーロンの受働土圧計算時の地盤の状態は下図の通りである。

主働土圧と同様に連力図を用いて解く。正弦定理より以下の関係式を得る。

${\displaystyle {\frac {W}{\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}={\frac {P_{p}}{\mathrm {sin} (\theta +\phi )}}\!}$

したがって、${\displaystyle P_{p}\,\!}$は以下の通り。

${\displaystyle P_{p}={\frac {W\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}\!}$

また、右図より土くさびの面積は以下の通りとなる。

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}AB*AC\mathrm {sin} (\alpha -\theta )}$

また、正弦定理より以下の関係式を得る。

${\displaystyle {\frac {AB}{\mathrm {sin} (\theta -\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (\pi -\alpha +\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}}}$

辺${\displaystyle AB}$を壁体の高さ${\displaystyle H}$を用いて表す。

${\displaystyle AB={\frac {H}{\mathrm {sin} \alpha }}}$

以上より土くさびの面積は以下の通りである。

${\displaystyle S=V={\frac {H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}$

したがって、土の重さは以下のように得られる。

${\displaystyle W={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}$

つまり、クーロンの受働土圧は以下のように導かれる。

${\displaystyle P_{p}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}}$

${\displaystyle \theta \,\!}$の最適解は極限定理の上界定理の考え方から${\displaystyle P_{p}\,\!}$を最大とする時の${\displaystyle \theta \,\!}$となる。

すなわち、以下の関係を満たす時の${\displaystyle \theta \,\!}$が最適解となり、その時の${\displaystyle P_{p}\,\!}$がクーロンの受働土圧となる。

${\displaystyle {\frac {\partial P_{p}}{\partial \theta }}=0}$

クーロンの受働土圧は以下の通りである。

${\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{p}H^{2}\,\!}$

${\displaystyle K_{p}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha -\delta )\left[1-{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi +\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}$

ランキン土圧における仮定は、以下の通りである。

${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}},\beta =0,\delta =0\,\!}$

この時主働土圧および、受働土圧は以下のように得られる。

主働土圧

${\displaystyle P_{a}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {cos} (\theta )\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{2\mathrm {sin} \theta \mathrm {cos} (\theta -\phi )}}\,\!}$

先ほどと同様に上界定理を用いる。

${\displaystyle {\frac {\partial P_{a}}{\partial \theta }}=0}$

この方程式を解くと、${\displaystyle \theta \,\!}$は次のように得られる。

${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\,\!}$

この時の主働土圧は次のように得られる。

${\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{a}H^{2}\,\!}$

${\displaystyle K_{a}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}$

受働土圧

${\displaystyle P_{p}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {cos} (\theta )\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{2\mathrm {sin} \theta \mathrm {cos} (\theta +\phi )}}\,\!}$

先ほどと同様に上界定理を用いる。

${\displaystyle {\frac {\partial P_{p}}{\partial \theta }}=0}$

この方程式を解くと、${\displaystyle \theta \,\!}$は次のように得られる。

${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\,\!}$

この時の受働土圧は次のように得られる。

${\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{p}H^{2}\,\!}$

${\displaystyle K_{p}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}$

ランキン土圧とクーロン土圧は一見違う理論のように見えるが、実は同じである。ただし、適用できる対象がやや異なるので下に表にしてまとめた。

ランキン土圧とクーロン土圧の違い

	壁体との摩擦	壁体の形	地盤の形	土材料	土の内部摩擦
ランキン土圧	考慮しない	考慮しない	考慮しない	c,${\displaystyle \phi }$材	考慮する
クーロン土圧	考慮する	考慮する	考慮する	${\displaystyle \phi }$材のみ	考慮する