完全不連結群

局所コンパクト完全非連結群において、単位元の任意の近傍はコンパクト開部分群を含む。逆に、位相群Gが「単位元の任意の近傍がコンパクト開部分群を含む」という条件を満たすとき、Gは局所コンパクト完全非連結群である。

Gを局所コンパクト完全非連結群、UをGのコンパクト開部分群、自己同型とする。

次のように定める:

${\displaystyle U_{+}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U)}$

${\displaystyle U_{-}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U)}$

${\displaystyle U_{++}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})}$

${\displaystyle U_{--}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U_{-})}$

U が整然 (tidy) であるとは、${\displaystyle U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}}$と${\displaystyle U_{++}}$と${\displaystyle U_{--}}$が閉であることをいう。

${\displaystyle U_{+}}$における${\displaystyle \alpha (U_{+})}$の指数は有限であり、その値は${\displaystyle \alpha }$に関して整然なUの取り方によらない。したがってスケール関数${\displaystyle s(\alpha )}$をその指数と定める。内部自己同型写像への制限は興味深い性質をもつG上の関数を与える。 特に、G上の${\displaystyle x}$の内部自己同型を${\displaystyle \alpha _{x}}$として${\displaystyle s(x):=s(\alpha _{x})}$によってG上の関数${\displaystyle s}$を与えると次の性質をもつ。

• ${\displaystyle s}$は連続である。
• xがGのコンパクト元ならば${\displaystyle s(x)=1}$である。
• ${\displaystyle n}$が非負整数ならば${\displaystyle s(x^{n})=s(x)^{n}}$が成り立つ。
• G上のモジュラー関数は${\displaystyle \Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}}$で与えられる。

スケール関数はHofmannとMukherjaによる予想の証明やHelge Glöcknerによるp進リー群や局所斜体上の線形群の明示的な計算に用いられた。

• Borel, Armand; Wallach, Nolan (2000), Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups, Mathematical surveys and monographs, 67 (Second ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0851-1, MR1721403 
• Bushnell, Colin J.; Henniart, Guy (2006), The local Langlands conjecture for GL(2), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 335, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/3-540-31511-X, ISBN 978-3-540-31486-8, MR2234120 
• Caprace, Pierre-Emmanuel; Monod, Nicolas (2011), “Decomposing locally compact groups into simple pieces”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 150: 97–128, doi:10.1017/S0305004110000368, MR2739075 
• Cartier, Pierre (1979), “Representations of ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-adic groups: a survey”, in Borel, Armand; Casselman, William, Automorphic Forms, Representations, and L-Functions, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 33, Part 1, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 111–155, ISBN 978-0-8218-1435-2, MR0546593, http://www.ams.org/online_bks/pspum331/pspum331-ptI-7.pdf 
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